Matematické Fórum

drabi · 25. 08. 2012 13:53

Ahoj,
potřebovala bych prosím poradit s následujícím příkladem. Dělám někde evidentně chybu a nemůžu přijít na správný způsob:

Spočtěte křivkový integrál $\int_C x^{\frac43} + y^\frac43 \mathrm{d}s$ , kde C je obvod astroidy,
$C = \{\[x, y\] \in \mathbb{R}^2; x^\frac23 + y^\frac23 = a^\frac43\}, a>0$

Zkoušela jsem najít nějakou parametrizaci
takže:
$x^\frac13 = a^\frac23 \cos{\varphi}$
$y^\frac13 = a^\frac23 \sin{\varphi}, \varphi \in (0,2\pi)$

$x = a^2 \cos^3{\varphi}$
$y = a^2 \sin^3{\varphi}$

$|\psi'(\varphi)| = \sqrt{(x'(\varphi))^2 + (y'(\varphi))^2} = \sqrt{9a^4\cos^2(\varphi)\sin^2(\varphi)} = 3a^2 \cos(\varphi) \sin(\varphi)$

celkově teda
$\int_C x^{\frac43} + y^\frac43 \mathrm{d}s =\int_0^{2\pi} a^\frac83 (\cos^4(\varphi) + \sin^4(\varphi)) * 3a^2 \cos(\varphi) \sin(\varphi) \mathrm{d}\varphi =\\= \int_0^{2\pi} 3a^\frac{14}{3} (\cos^4(\varphi) + \sin^4(\varphi))\cos(\varphi) \sin(\varphi) \mathrm{d}\varphi$

tam jsem se snažila dostat substituci $\tg(\varphi) = u$ , ale zdá se mi, že někde v průběhu dělám chybu, protože po kouknutí na výsledek ( $4a^\frac73$ ) je mi jasné, že to mám špatně, protože integrací žádné další a nezískám.
Mohl by to prosím někdo projít, v čem dělám chybu nebo jestli mám postup špatně?
Díky

jelena · 25. 08. 2012 14:32

Zdravím,

celé jsem neprocházela - jen dotaz $C = \{\[x, y\] \in \mathbb{R}^2; x^\frac23 + y^\frac23 = a^\frac43\}, a>0$ tak už bylo v zadání? nebo jsi rovnici astroidy doplnila sama? nemá být jen $a^\frac23$ - odkaz? Děkuji.

drabi · 25. 08. 2012 14:56

↑ jelena:
je to tak v zadani

jelena · 25. 08. 2012 15:22

↑ drabi:

děkuji, odsud, že? Mně se to velmi nezdá - asteroida je celkem známá křivka (zkontrolovala jsem i v Rektorysovi :-) Zkus to dopočíst s 2/3. Stejná úloha je i zde (a také se nějak kouzlí s mocninou u a (OT: u tohoto materiálu vždy se pozastavím nad stylem úpravy - proč to?)).

drabi · 25. 08. 2012 15:39 — Editoval drabi (25. 08. 2012 15:46)

↑ jelena:
v tom případě
$\int_C x^{\frac43} + y^\frac43 \mathrm{d}s =\\ \int_0^{2\pi} a^\frac43 (\cos^4(\varphi) + \sin^4(\varphi))3a \cos(\varphi) \sin(\varphi) \mathrm{d}\varphi = \\ \int_0^{2\pi} 3a^\frac73 (\cos^4(\varphi) + \sin^4(\varphi))\cos(\varphi) \sin(\varphi) \mathrm{d}\varphi = \\3a^\frac73 \int_0^{2\pi} \cos^5(\varphi)\sin(\varphi) + \sin^5(\varphi)\cos(\varphi)\mathrm{d}\varphi = 0$
podle wolframu
tak nevím, zda nemám chybu např. v mezích

EDIT:
už vidím svou chybu, já to přímo odmocnila a nestarala jsem se o to v jakých případech je to kladné/záporné.. takže upravuji na:
$\int_0^{2\pi} 3a^\frac73 (\cos^4(\varphi) + \sin^4(\varphi))\sqrt{ \cos^2(\varphi) \sin^2(\varphi)} \mathrm{d}\varphi =\\= 12a^\frac73 \int_0^{\pi/2} \cos^5(\varphi)\sin(\varphi) + \sin^5(\varphi)\cos(\varphi) \mathrm{d}\varphi = 4a^\frac73$

jelena · 25. 08. 2012 15:57

Ano, jak píšeš v editu - problém byl s odmocněním (abs. hodnota, pokud pro celý interval), nebo jak jsi dokončila. Tedy už v pořádku? Děkuji.

drabi · 25. 08. 2012 15:58

↑ jelena:
ano, děkuji mockrát :)

Matematické Fórum

#1 25. 08. 2012 13:53

křivkový integrál 1.druhu

#2 25. 08. 2012 14:32

Re: křivkový integrál 1.druhu

#3 25. 08. 2012 14:56

Re: křivkový integrál 1.druhu

#4 25. 08. 2012 15:22

Re: křivkový integrál 1.druhu

#5 25. 08. 2012 15:39 — Editoval drabi (25. 08. 2012 15:46)

Re: křivkový integrál 1.druhu

#6 25. 08. 2012 15:57

Re: křivkový integrál 1.druhu

#7 25. 08. 2012 15:58

Re: křivkový integrál 1.druhu

Zápatí