Matematické Fórum

Alexandra44441 · 21. 08. 2012 14:24

Dobrý den, potřebuji nějak "lidsky" vysvětlit následující:
uvést příklad lineárního metrického prostoru a proč je lineární a pak příklad nelineárního metrického prostoru a také proč nesplňuje podmínky nelinearity a jaké. Děkuji moc.

OiBobik

↑ Alexandra44441:

Ahoj,

Edit: blbá odpověď, navíc neúplná

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Rumburak · 21. 08. 2012 16:10

Zdravím.

Je nutno si dle příslušné definice uvědomit, co je to lineární metrický prostor. Odhadoval bych, ALE MOHU SE MÝLIT,
že lineárním metrickým prostorem je metrický postor $(P, \rho)$ , který je zároveň lineárním prostorem nad tělesem $T$
komplexních (nebo reálných) čísel a jsou-li navíc pro libovolná $x, y, u \in P, \lambda \in T$ splněny rovnice

$\rho(x + u, y + u) = \rho(x, y)$ ,
$\rho(\lambda x, \lambda y) = |\lambda|\,\rho(x, y)$ .

Pokud je tomu tak, potom např. každý ukleidovský prostor je LMP, avšak jeho podmnožina, která není lineárním
prostorem, není ani LMP.

Ale podívej se do studijních materiálů na tu definici, tu uvedenou v tomto příspěvku jsem si teď vymyslel já.

Alexandra44441 · 21. 08. 2012 16:45

↑ Rumburak:No definici v podstatě ovládám, ale potřebovala bych na konkrétním příkladu nějakého prostoru uvést, proč není lineární. Asi bych to pochopila lépe, kdybych viděla, co se dokazuje v nějakém libovolném příkladu, co je v rozporu s definicí lineárního prostoru. Například prostor s diskrétní metrikou není lineární (to mám z materiálů) ale nevím, jak to dokázat. Nesplňuje podmínku tuto:
" nechť $\{\lambda _n\}_{n=1}^\infty$ je posloupnost, pro kterou platí, že $\lim_{lambda_n}=0$ , dále nechť $0$ je nulovým prvkem prostoru $M$ , pak pro každý prvek $u \in M$ platí:
" $\lim_{\varrho(\lambda_n.u,0}=0 pro n \rightarrow \infty$ . No a tady nevím, jak v případě toho diskrétního prostoru mám dokázat, že tuto podmínku , kterou v případě lineárních prostorů na metriku klademe, nesplňuje.

Alexandra44441 · 21. 08. 2012 16:50

↑ Rumburak: Jenom opravím tu limitu, nevím, proč se mi to takto napsalo. takže:

$lim \varrho (\lambda _n.u,0)=0$

Rumburak · 21. 08. 2012 17:22

↑ Alexandra44441:
Pokud je správná "moje" definice LMP (což stále ještě nevím), pak jedním z rysů těchto prostorů je, že s každými dvěma body obsahují přímku,
která jimi prochází, a ta je homeomorfní (a snad dokonce isomorfně isometrická, teď nemám kdy to ověřovat) s množinou reálných čísel.
To se dá, myslím, v mnoha takových případech použít.

Alexandra44441 · 21. 08. 2012 18:50

↑ Rumburak:Ta definice zní následovně:
" Nechť M je prostor (nemusí být nutně lineární), pak pro každé $u$ a $v$ , které patří prostoru M lze zavést nezáporné číslo $\varrho (u,v)$ , které nazýváme vzdáleností prvků $u$ a $v$ , které navíc splňuje následující vlastnosti:
1. $\varrho (u,v)=0\Leftrightarrow u=v$
2. $\varrho (u,v)=\varrho (v,u)$ - takzvaná symetrie vzdáleností
3. $\forall u,v,w \in M$ platí tzv. trojúhelníková nerovnost:
$\varrho (u,v)\le \varrho (u,w)+\varrho (w,v)$
Pak funkci $\varrho$ nazýváme metrikou a prostor M metrickým prostorem.
Pro lineární prostory klademe na metriku ještě další požadavky:
4. $\forall u,v,w\in M$ navíc platí:
$\varrho (u+w,v+w)=\varrho (u,v)$ tzv. invariance vůči translaci
5. je definice s limitou, kterou jsem uváděla výše. - viz příspěvky. A právě tento požadavek nesplňuje diskrétní metrický prostor (nebo přivítám jiný příklad) a já nevím, proč.

No a co se týče lineárních prostorů, tak definice zní: Nechť M je množina (prostor) reálných resp. komplexních čísel, na kterém je definováno sčítání a násobení reálných resp. komplexním číslem následovně:
sčítání: každé dvojici prvků $u ,v\in M$ je přiřazeno číslo $w\in M$ , takové, že platí: $w=u+v$
násobení: každému prvku $u\in M$ je přiřazen prvek $z=\lambda .u$ , který nazýváme $\lambda$ -násobkem prvku $u$ , přičemž $z\in M$ a navíc jsou splněny následující vlastnosti:
1. komutativní zákon: $u+v=v+u$
2. asociativní zákon vzhledem k sčítání a násobení:
$u+(v+w)=(u+v)+w$
$(\lambda.\mu ).u=\lambda .(\mu .u)$
3. existence nulového a opačného prvku:
$\exists 0\in M;\forall u\in M,0+u=u$
$\forall u\in M\exists (-u)\in M;u+(-u)=0$
4. $1.u=u$
5. distributivní zákon:
$(u+v).\mu =u\mu +v\mu$
$(\lambda +\mu ).u =\lambda u+\mu u$
pro každé $u\in M$ a každé $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}(\mathbb{C})$

No a pak tedy například prostor $\mathbb{R}(\mathbb{C}$ je lineární metrický prostor. Je mi jasné, proč je lineární, pokud bych ověřovala jednostlivé vlastnosti reálných , resp. komplexních čísel, tak to chápu. Ale nechápu, nebo spíše nevím jak to prokázat na tom mém uvedeném příkladu toho diskrétního prostoru. Metrický prostor z diskrétní metrikou tedy podle literatury, kterou mám, není lineární a já nevím proč.

Rumburak · 22. 08. 2012 10:16

↑ Alexandra44441:
Co to je lineární prostor, jsem věděl, a co to je netrický prostor, jsem také věděl. Nebylo mi jen jasné, jakými axiomy jsou v tom LMP
propojeny linearita a "metricita". Takže těmi doplňujícími axiomy jsou (kvantifikátory si odpustím)

(LMP1) $\varrho (u+w,v+w) = \varrho (u,v)$ ,

o němž jsem uvažoval i já, ten druhý jsem z Tvého příspěvku ↑ Alexandra44441: a následujícího rozluštil jako

(LMP2) $\lim_{n \to \infty}\varrho(\lambda_n u,0)=0$ , kdykoliv $\lim_{n \to \infty} \lambda_n=0$ .

Příkladem LMP je každý lineární normovaný prostor a tedy i každý eukleidovký prostor, speciálně množina reálných čísel opatřená
standardní metrikou $\varrho (x,y) = |x-y|$ . Dokažme to obecně pro lineární normované prostory s normou $\| . \|$ ("norma" je
jiný název pro velikost vektoru).

(LMP1) : $\varrho (x,y) = \|x-y\|$ , takže

$\varrho (u+w,v+w) = \|(u+w)-(v+w)\| = \|u-v\| = \varrho (u,v)$ .

(LMP2) : Nechť $\lim_{n \to \infty} \lambda_n=0$ . Potom

$\lim_{n \to \infty}\varrho(\lambda_n u,0)= \lim_{n \to \infty}\|\lambda_n u - 0\|= \lim_{n \to \infty}\|\lambda_n u\|= \lim_{n \to \infty}|\lambda_n|\cdot\| u\|=0$ .

Trivální případ, kdy množina $W$ není LMP : není lineárním prostorem nebo metrickým prostorem. Tebe asi bude zajímat netriviální
případ, kdy množina $W$ není LMP, ale je lin. prostorem i metrickým prostorem. Když na lin. prostoru dimense alespoň 1 zavedeme
diskretní metriku $\delta$ , tj. $\delta(x,x) = 0$ , $\delta(x,y) = 1$ pro $x\ne y$ , a vezmeme vektor $u \ne 0$ a posloupnost $\lambda_n = \frac{1}{n}$ ,
čemu bude rovna $\lim_{n \to \infty}\delta(\lambda_n u,0)$ ?

Alexandra44441 · 25. 08. 2012 18:25

↑ Rumburak:No to právě nevím, jak mám chápat. Když pronásobíme jednotlivé členy posloupnosti s jednotlivými prvky vektoru u, pak za normálních okolností, když tá posloupnost konverguje k nule tak bude k nule konvergovat i číselná posloupnost těch jednolivých vzdáleností, prostě se ty vzdálenosti od nuly budou postupně jakoby zmenšovat. Tedy alespoň tak to chápu. Takže pro tu diskrétní metriku z tvého případu to bude limita = $\infty$ ? Ale fakt si nejsem jistá.

jarrro · 25. 08. 2012 20:12

ako môže mať postupnosť , ktorá nadobúda len hodnotu 1 limitu nekonečno?

Alexandra44441 · 26. 08. 2012 13:05

↑ jarrro:Tak jsem tu definici tedy nepochopila správně :-(, takže tá limita tedy bude rovna jedné a tudíž právě proto není splněna podmínka, kladena na lineární metrické prostory. Tak to už chápu. Spíše mi tedy ale asi dělá problém pochopit, jak tam funguje ta limita těch vzdáleností. Dá se to nějak nakreslit třeba abych to viděla?

jarrro · 26. 08. 2012 15:41

skúma sa limita číselnej postupnosti
$a_n=\varrho{\left(\lambda_nu, 0\right)}$

Alexandra44441 · 26. 08. 2012 21:53

↑ jarrro:Já to vzdávám, prostě to nechápu, jak to tam funguje. Potřebuji to tedy nějak normálně (spíše lidsky) bez těch definicí, vysvětlit. Děkuji předem.

jarrro · 27. 08. 2012 09:28 — Editoval jarrro (27. 08. 2012 09:32)

postupnosť $a_n=\varrho{\left(\lambda_nu, 0\right)}$ závisí od postupnosti $\lambda$ a od zvoleného prvku $u$ lineárneho priestoru ak je náhodou limita postupnosti $a$ nulová pre každú postupnosť $\lambda$ s nulovou limitou a pre každé $u$ , vtedy je splnená tá podmienka LMP2
Pre pevne dané $u$ a $\lambda$ je to obyčajná číselná postupnosť čiže má zmysel sa pýtať či má limitu prípadne aká je hodnota tej limity

Rumburak

↑ Alexandra44441:

Já to taky vzdávám :-) a dořeším to, co jsem nastínil v ↑ Rumburak: :
Když $u \ne 0$ a $\lambda_n = \frac{1}{n}$ , tedy $\lambda_n \ne 0$ , potom i $\lambda_n u \ne 0$ , takže $\delta(\lambda_n u,0) = 1$ (diskretní metrika).

Proto také

(1) $\lim_{n \to \infty}\delta(\lambda_n u,0) = 1$

(limita ze stacionární posloupnosti samých jedniček).

Avšak to je spor s axiomem (LMP2), který požaduje, aby limita (1) byla rovna 0 , protože i $\lim_{n \to \infty} \lambda_n=0$ .

Tím je ukázáno, že diskretní metrika na LP nedává LMP .

Ještě poznámka:
O limitě posloupnosti $(a_n)$ bodů metrického prostoru $(P, \varrho)$ platí věta, kterou lze vyjádřit ekvivalencí

(2) $\lim_{n\to \infty} a_n = a \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty} \varrho(a_n , a) = 0$ ,

v níž znak $\lim_{n\to \infty}$ na levé straně znamená limitu posloupnosti $(a_n)$ , zatímco na pravé straně jde o "klasickou" limitu
posloupnosti $$ \varrho(a_n , a)$$ reálných čísel.

Kolegovi jarrrovi posílám pozdrav a poděkování za spolupráci.

Alexandra44441 · 27. 08. 2012 10:35

↑ Rumburak:Ano, je mi to již jasné. Jak by to tedy vypadalo například pro normovaný lineární prostor? Zase tam je formule, že normovaný je zároveň metrický ale metrický nemusí býti nutně normovaný. Když například budeme uvažovat eukeidovskou normu, jaký by byl příklad metrického prostoru, který ale není normovaný?

Rumburak

↑ Alexandra44441:
Nejednodušší příklad by zase byl s diskretní metrikou.

Jiným příkladem je tzv. DC-prostor:

V $\mathbb{R}^2$ mějme eukleidovskou normu $\| ... \|$ a pomocní ní definujeme

$\varrho(u, v) := \| u-v \|$ v případě, že vektory $u, v$ jsou lineárně závislé ,

$\varrho(u, v) := \| u\|+\|v \|$ v případě, že vektory $u, v$ jsou lineárně NEzávislé .

Zde sice axiom (LMP2) platí, ale neplatí (LMP1) . Odtud plyne, že tato metrika není indukována žádnou normou
(protože pak by muselo jít o LMP) .

Matematické Fórum

#1 21. 08. 2012 14:24

Nelineární metrický prostor

#2 21. 08. 2012 15:56 — Editoval OiBobik (21. 08. 2012 16:45)

Re: Nelineární metrický prostor

#3 21. 08. 2012 16:10

Re: Nelineární metrický prostor

#4 21. 08. 2012 16:45

Re: Nelineární metrický prostor

#5 21. 08. 2012 16:50

Re: Nelineární metrický prostor

#6 21. 08. 2012 17:22

Re: Nelineární metrický prostor

#7 21. 08. 2012 18:50

Re: Nelineární metrický prostor

#8 22. 08. 2012 10:16

Re: Nelineární metrický prostor

#9 25. 08. 2012 18:25

Re: Nelineární metrický prostor

#10 25. 08. 2012 20:12

Re: Nelineární metrický prostor

#11 26. 08. 2012 13:05

Re: Nelineární metrický prostor

#12 26. 08. 2012 15:41

Re: Nelineární metrický prostor

#13 26. 08. 2012 21:53

Re: Nelineární metrický prostor

#14 27. 08. 2012 09:28 — Editoval jarrro (27. 08. 2012 09:32)

Re: Nelineární metrický prostor

#15 27. 08. 2012 10:09 — Editoval Rumburak (27. 08. 2012 10:49)

Re: Nelineární metrický prostor

#16 27. 08. 2012 10:35

Re: Nelineární metrický prostor

#17 27. 08. 2012 11:12 — Editoval Rumburak (27. 08. 2012 11:17)

Re: Nelineární metrický prostor

Zápatí