Matematické Fórum

drabi · 28. 08. 2012 13:28

Ahoj,
nevím si rady s jednou částí příkladu odsud.
Jedná se o příklad č. 15 a konkrétně o výpočet integrálu $\int{\int_M -2 \mathrm{d}x}\mathrm{d}y$
píše se zde: Dvojný integrál jsme vypočítali substitucí pomocí zobecněných polárních souřadnic
tak jsem to chtěla dopočítat a tedy jsem substituovala následovně:
$x = a \cos{\varphi}$
$y = b \sin{\varphi}$
$|\psi'(\varphi)| = \sqrt{a^2 \sin^2{\varphi} + b^2 \cos^2{\varphi}}$
takže počítám integrál
$\int{\int_M -2 \mathrm{d}x}\mathrm{d}y =-2 \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{a^2 \sin^2{\varphi} + b^2 \cos^2{\varphi}}$
Jenže to mi nejde nějak vypočíst, možná to je nějaká jednoduchá substituce, ale já to v tom nějak nemohu najít.
Mohl by mi prosím někdo poradit? Popřípadně, nedělám chybu někde jinde?

Geronimo · 28. 08. 2012 14:30

Nebude ten Jakobian jinak?

Tohle jsem vytahl ze skript (Josef Kalas a Jaromír Kuben: Integrální počet funkcí více proměnných)

Geronimo · 28. 08. 2012 15:10

Nedalo mi to a prepocital jsem to a vyslo mi to:

$x&=a\rho\cos\varphi\\ y&=b\rho\sin\varphi$

dale: $\rho &\in (0,1) \\ \varphi &\in (-\pi,\pi)$
Jakobian vyjde dle prilozeneho materialu: $ab\rho$

$\int{\int_M -2 \mathrm{d}x}\mathrm{d}y =-2 ab\int_{-\pi}^{\pi} \int_0^1 \rho \mathrm{d}\rho\mathrm{d}\varphi=-ab \int_{-\pi}^{\pi} \mathrm{d}\varphi=-2ab\pi$

drabi · 28. 08. 2012 20:30

↑ Geronimo: + ↑ Geronimo:
diky mockrat, ja tam zapomnela uplne to $\varrho$
ted uz je mi to jasne:)

Matematické Fórum

#1 28. 08. 2012 13:28

Greenova věta

#2 28. 08. 2012 14:30

Re: Greenova věta

#3 28. 08. 2012 15:10

Re: Greenova věta

#4 28. 08. 2012 20:30

Re: Greenova věta

Zápatí