Matematické Fórum

pan Hole · 27. 08. 2012 18:27

Kdybych měl takovýhle výraz:

$S = \sqrt{A + iB}$

Asi neplatí, že imaginární část toho výrazu je jen $\sqrt{B}$ , že?

jarrro · 27. 08. 2012 18:32 — Editoval jarrro (27. 08. 2012 18:50)

nie a je to divné zadanie keďže komplexná odmocnina je dvojznačná a obidve imaginárne časti sa môžu líšiť (iba znamienkom, ale aj tak)
$\sqrt{a+b\mathrm{i}}=c+d\mathrm{i}\nl a+b\mathrm{i}=c^2-d^2+2cd\mathrm{i}\nl a=c^2-d^2\nl b=2cd\nl a=\frac{b^2}{4d^2}-d^2\nl 4\left(d^2\right)^2+4ad^2-b^2=0\nl d^2=\frac{-4a+\sqrt{16a^2+16b^2}}{8}=\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}$

pan Hole · 27. 08. 2012 19:13

Už je mi to jasné, děkuji!

pan Hole · 28. 08. 2012 20:46

Zajímavé je, že když chci určit reálnou část, položím

$d = \frac{b}{2c} \nl a = c^2 - \frac{b^2}{4c^2}$
a dostanu
$4(c^2)^2-4ac^2-b^2 = 0$

Což vede k diskriminantu
$D = 16a^2 + 16b^2$
a k řešení rovnice
$c = \frac{-a + \sqrt{4a^2+4b^2}}{2}$
Což je přesně to, co vyšlo pro ti část imaginární... Není to zvláštní? Nebo jsem se jenom někde netrefil?

jarrro · 28. 08. 2012 21:26

ak reálnu časť tak
$\sqrt{a+b\mathrm{i}}=c+d\mathrm{i}\nl a+b\mathrm{i}=c^2-d^2+2cd\mathrm{i}\nl a=c^2-d^2\nl b=2cd\nl a=c^2-\frac{b^2}{4c^2}\nl 4\left(c^2\right)^2-4ac^2-b^2=0\nl c^2=\frac{4a+\sqrt{16a^2+16b^2}}{8}=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}$

Matematické Fórum

#1 27. 08. 2012 18:27

Imaginární část komplexního výrazu

#2 27. 08. 2012 18:32 — Editoval jarrro (27. 08. 2012 18:50)

Re: Imaginární část komplexního výrazu

#3 27. 08. 2012 19:13

Re: Imaginární část komplexního výrazu

#4 28. 08. 2012 20:46

Re: Imaginární část komplexního výrazu

#5 28. 08. 2012 21:26

Re: Imaginární část komplexního výrazu

Zápatí