Matematické Fórum

drabi · 27. 08. 2012 20:50 — Editoval drabi (27. 08. 2012 22:07)

Ahoj,
mám problém s následujícím typem příkladů ze sbírky, kapitola 42, příklady 1-4.
Nějak nemůžu přijít(najít na netu), jak se tohle počítá, tak pokud by mi někdo napsal/našel návod, nebo nějak mě navedl, budu moc ráda. Samozřejmě bohatě stačí, když mi pomůžete s jedním příkladem:) zbytek už zvládnu, když budu vědět, jak na to.
Díky moc

EDIT:
tak uz jsem nasla nejaky navod:)
jenze, kdyz tenhle postup pouziju na priklad 42.2 tak mi vychazi $4\pi \sqrt{1+a^2+b^2}$ , je to tim, ze v zadani je $a,b>0$ a tim padem je vysledek 4x mensi?

drabi · 27. 08. 2012 22:36 — Editoval drabi (28. 08. 2012 14:01)

↑ drabi:
tak jsem propočítávala následující příklady a zasekala jsem se u 42.3.
Spočtěte obsah části povrchu rotačního hyperboloidu
$M = \{ \[ x, y, z \] \in \mathbb{R}^3, z = x y, x^2 + y^2 \le 1\}$

takže
$f_x = y$
$f_y = x$
počítám tento integrál:
$\int \int_{x^2+y^2 \le 1} \sqrt{1 + x^2 + y^2}$
použiju válcové souřadnice
$x = r \cos{\varphi}$
$y = r \sin{\varphi}$
potom z toho meze jsou $\varphi \in (-\pi,\pi), r \in (0,1)$

EDIT 2:
koukám, že jsem zapomněla při parametrizaci na jakobián, takže by to mělo být takto(?)
$\int \int_{x^2+y^2 \le 1} \sqrt{1 + x^2 + y^2} = \int_{0}^{1} \int_{-\pi}^{\pi} r\sqrt{1+r^2} \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}r =$ ... $= \frac{2\pi}{3} (-1+2 \sqrt2)$
to už se velice blíží výsledku ( $\frac{3\pi}{2} (-1+2 \sqrt2)$ ), nevidíte někdo případnou chybu? dík

jelena · 28. 08. 2012 22:20

Zdravím,

pokud ještě aktuální. 42.2 mi vyšlo stejně, jako ve sbírce - počítala jsem integrál (po převodu do polárních souřadnic):

$\int \int_{x^2+y^2 \le 1} \sqrt{1 + a^2 + b^2}\d x\d y = \int_{0}^{1} \int_{-\pi}^{\pi} r\sqrt{1+a^2+b^2} \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}r =\ldots$

42.3. mi vyšlo stejně, jako Tobě.

drabi · 28. 08. 2012 23:02

↑ jelena:
Zdravím,
děkuju za reakci. Už jsem na ten příklad 42.2 příšla, špatně jsem to zintegrovala, takže mi to teď už vychází stejně, jako ve skriptech.
S tím druhým příkladem nevím, asi je to jen chyba ve výsledku ve skriptech:)

jelena · 29. 08. 2012 12:59

↑ drabi:

také děkuji. Také bych tipovala na překlep. Když se podíváš na další 42.4, tak to vede na stejný integrál, jako 42.3 a výsledek stejný (podle nás s překlepem). Zajímavé, že? Zkusím se donutit ještě pořádně zapsat a třeba založím téma "errata pro MFF UK" :-)

drabi · 29. 08. 2012 13:15

↑ jelena:
Máš pravdu, já si toho následujícího příkladu taky všimla.
Tak snad se jedná jen o chybu ve výsledcích, myslím, že nejdůležitější pro mě je, že daný postup je dobře:)
Ještě jednou děkuju

Matematické Fórum

#1 27. 08. 2012 20:50 — Editoval drabi (27. 08. 2012 22:07)

plošný integrál 1.druhu

#2 27. 08. 2012 22:36 — Editoval drabi (28. 08. 2012 14:01)

Re: plošný integrál 1.druhu

#3 28. 08. 2012 22:20

Re: plošný integrál 1.druhu

#4 28. 08. 2012 23:02

Re: plošný integrál 1.druhu

#5 29. 08. 2012 12:59

Re: plošný integrál 1.druhu

#6 29. 08. 2012 13:15

Re: plošný integrál 1.druhu

Zápatí