Matematické Fórum

simcilka · 28. 08. 2012 16:37

Ahoj,

mám problém s přijitím řešením u příkladu na pokryvaní roviny, přijde mi to jako zkoušení co vyjde a co ne, ale nevim v otm případe jestli je to správně, mohl byste mi prosím někdo zkontrolovat tyto ulohy?

1.ktere všechny čtveřice ruzných pravidelných mnohouhelnku se stejnymi delkami stran, neprekryvajicich se a vyplnujicich zcela plny uhel mohou mit jeden spolecny vrchol?

moje odpoved: ctverec, kosočtverec

2. nejdete uplne pokryti roviny bez prekryvani pravidelnych ctyruhelniku a osmiuhelniku se stejnymi delkami stran. Dokazte ze takove pokryti je mozne . Vepisemeli do kazdeho mnohouhelniku kruh, kolik procent roviny zabere obsah vsech kruhu

moje odpoved: paretáž existuje( osmiuhelnik spojeny po jedne strane a mezi nimi je ctverec postaven na vrchol) nevim jak to dokazat?? a pak jsem si spocitala obsah ctverce= $a^{2}$ obsah osmiuhleniku= $2a^{2}(1+\sqrt{2})$ obsah kruhu vepsaneho do ctverce= $\pi a^{2}\frac{1}{4}$ a obsah kruhu vepsaneho so osmiuhleniku je $\pi a^{2}\frac{1}{4}(1+\sqrt{2})^2$ a ted nevim jak dal abych zjistila procenta

3. to same zadani akorat pravidelnych trojuhelniku a sestiuhleniku se stejnymi stranami a stejne pozadavky

moje odpoved: ano jde to paretaz vypada sestiuhleniky dam do rady a dotykaji se vrcholy a do mezery se mi vejde trojuhelnik, nasledne jsem spocitala obsah trjuhleniku $a^{2}\sqrt{2}\frac{1}{4}$ a setiuhleniku $a^{2}\sqrt{3}\frac{3}{2}$ no a u kruznice vepsane vim ze $S=\varrho \cdot s$ a setiuhelnik nasledne, ale zase nevim jak to mam porovnat, mohl byste me prosim nekdo pomoct?

Honzc · 29. 08. 2012 08:42 — Editoval Honzc (29. 08. 2012 13:34)

↑ simcilka:
1. Pravidelné mnohoúhelníky musí splňovat následující podmínky:
a) všechny strany jsou stejně dlouhé a zároveň
b) všechny vnitřní úhly jsou stejné. (nebo jim musí jít opsat kružnice)
Jak vidíš kosočtverec nesplňuje podmínku b) a tudíš to není pravidelný mnohoúhelník.
A teď k úloze. Jestli jsem dobře pochopil zadání, pak se chce najít čtveřice různých mnohoúhelníků (to je každý mnohoúhelník má být jiný), aby se dotýkaly v jednom bodě a vyplnily plný úhel. (tj.360st.)
To znamená, že součet každého jednoho vnitřního úhlu od každého mnohoúhelníku musí být 360 st.
Teď si určíme jaké vnitřní úhly mají postupně jednotlivé mnohoúhelníky
rovnostranný trojúhelník má vnitřní úhly rovny 60 st.
čtverec má vnitřní úhly rovny 90 st.
pravidelný pětiúhelník má vnitřní úhly rovny 108 st.
pravidelný šestiúhelník má vnitřní úhly rovny 120 st.
atd.
Když ovšem sečteš 60+90+108+120=378 > 360 a tedy vidíš, že ani při použití 4 prvních mnohoúhelníků (s nejmenšími vnitřními úhly) úlohu nelze splnit. (Každý další mnohoúhelník s větším počtem stran má vnitřní úhly ještě větší než uvedené první čtyři)
Poznámka:
1.Existují pouze 3 možnosti jak ze stejných pravidelných mnohoúhelníků vyplnit plný úhel.
Jsou to: 6 rovnostranných trojúhelníků, 4 čtverce a 3 pravidelné šestiúhelníky.
2. Včely to vědí a proto staví šestiúhelníkové plástve, u kterých je spotřeba materiálu pro pokrytí nějaké plochy nejmenší.

2. a) Že to jde dokážeš tak, že 90+2*135=360 (viz rozbor prvního příkladu)
b) Plochy máš spočítané dobře a teď jenom dáš do poměru
$p=\frac{P_{kvc}+2\cdot P_{kvo}}{P_{c}+2\cdot P_{o}}$
3. a) U obsahu trojúhelníku má být $a^{2}\sqrt{3}\frac{1}{4}$ namísto $a^{2}\sqrt{2}\frac{1}{4}$
b) Pro velikost poloměru vepsané kružnice můžeš použít vztah:
$\varrho =\frac{a}{2\text{tg}\frac{\pi }{n}}$
c) Poměr obdobně ako u 2b) $p=\frac{2\cdot P_{kvt}+2\cdot P_{kvs}}{2\cdot P_{t}+2\cdot P_{s}}=\frac{P_{kvt}+ P_{kvs}}{ P_{t}+P_{s}}$

Poznámka: Protože se jedná o poměr a strany mnohoúhelníků mají být stejné, můžeš si stranu a zvolit rovnu 1
Obrázek