Matematické Fórum

Skrytý text:

Připojím důkaz, že toto řešení je jediné. Existuje nějaký hezčí důkaz nevyžadující znalost generátoru pythagorejských trojic?

Diskriminant této rovnice je  . Jelikož jsou koeficienty této rovnice racionální, pak aby byly racionální kořeny, musí být racionální i diskriminant, tedy . Diskriminant musí být zároveň kladný a z toho, že q a p jsou přirozená čísla můžeme usoudit, že bude dokonce přirozený (nula to nebude, protože q určitě není dvojnásobek prvočísla). Dá se pak i dokázat, že . Úpravou výše uvedené rovnice můžeme získat rovnici , čísla 2p, k a q tedy budou Pythagorejské trojce. Podle rovnic na Wikipedii musí platit:



Protože p má být prvočíslo, nemůže být součinem dvou různých přirozených čísel větších než jedna a protože x>y, musí . Pak tedy . x nemůže být liché, protože kdyby bylo, pak x² by bylo také liché a tedy q by bylo sudé, q jsa prvočíslem zjevně větším než jiné prvočíslo p však nemůže být sudé, což je spor. x a tedy i p je sudé, a protože je to prvočíslo, musí se rovnat dvěma. Pak