Matematické Fórum

ajucha · 30. 08. 2012 14:23

Potřebovala bych poradit s příkladem:
mám sečíst řadu: 1/2 + 1/8 + 1/24 + ...... tuto řadu si přepíšu jako suma_(n=1)^(oo) 1/(n*2^n)
jak se má postupovat?
v sešitě mám pak napsáno, že s(x)=suma x^n/n - poté se to tu nějak integruje...nerozumím tomu, poradímě mi někdo? prosím :)

jarrro · 30. 08. 2012 14:43

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n\cdot 2^n}}$ je hodnota funkcie
$F{\left(x\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n}{n}}$ v ode $\frac{1}{2}$
lenže funkcia F je primitívna funkcia k funkcii
$f{\left(x\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}{x^{n-1}}=\frac{1}{1-x}$
teda $F{\left(x\right)}=-\ln{\left|1-x\right|}$
teda súčet rady je $-\ln{\frac{1}{2}}=\ln{2}$

ajucha · 30. 08. 2012 15:16

↑ jarrro:

a jak přijdu na to, že je to hodnota funkce v bodě 1/2? je na to nejaky pravidlo? nebo to jenom v tom vidis?
tuto fázi $f{\left(x\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}{x^{n-1}}=\frac{1}{1-x}$ - to souvisí s geometrickou řadou?
ale kdyz mám 1/(1-x) , tak q=x a potom je to x^n, proč tam tedy píšeš x^(n-1)

jarrro · 30. 08. 2012 15:44

↑ ajucha:že je to v jednej polovici tak to vidno na prvý pohľad.Rad vzniknutý derivovaním je geometrický rad keď sa ti nepáči mocnina n-1
tak to píš ako $f{\left(x\right)}=\sum_{n=0}^{\infty}{x^{n}}=\frac{1}{1-x}$

ajucha · 30. 08. 2012 15:58

↑ jarrro:
aha, už to vidím:)
a když mám suma n/(2^(n-1)) tak si to převedu na F(x)=suma n/x^(n-1), ale v šešitě mám, že se to převedlo na n*x^(n-1) - to je to samé? nebo proč to nemůže být, tak jak sem psala já?

Rumburak · 30. 08. 2012 16:07

↑ ajucha:
Správný je zde převod na tvar n*x^(n-1) , jak máš i uvedeno v sešitě, aby bylo možno využít teorii mocninných řad.

V tomto kontextu bude $\frac{n}{2^{n-1}}= nx^{n-1}$ pro $x = \frac{1}{2}$ .

jarrro · 30. 08. 2012 16:10 — Editoval jarrro (30. 08. 2012 16:15)

môže aj tak ako píšeš ty ibaže zistenie súčtu F(x)=suma n/x^(n-1) priamo bude asi o hubu aspoň ma teda nenapadá nič normálnejšie ako prevrátiť premennú a teda sa dostať na G(t)=suma n*t^(n-1), ktorý naopak vznikne derivovaním geometrického radu s kvocientom t, kde t=1/x čiže pribudne jeden krok zbytočne navyše alebo ťa napadá priamejší spôsob výpočtu F(x)=suma n/x^(n-1) ?

ajucha · 30. 08. 2012 17:14

↑ jarrro:
děkuju moc, začínam to chapat :)

Matematické Fórum

#1 30. 08. 2012 14:23

součet řady

#2 30. 08. 2012 14:43

Re: součet řady

#3 30. 08. 2012 15:16

Re: součet řady

#4 30. 08. 2012 15:44

Re: součet řady

#5 30. 08. 2012 15:58

Re: součet řady

#6 30. 08. 2012 16:07

Re: součet řady

#7 30. 08. 2012 16:10 — Editoval jarrro (30. 08. 2012 16:15)

Re: součet řady

#8 30. 08. 2012 17:14

Re: součet řady

Zápatí