Matematické Fórum

drabi · 31. 08. 2012 13:12

Ahoj,
narazila jsem na příklad, který mi dělá trochu problém. Nejsem si jistá, zda mám dobře meze, protože následně mi vychází nehezký integrál, jehož vypočítání mi dělá problém:

Mám spočíst míru množiny $M = \{\[x,y,z\] \in \mathbb{R}^3; x^2 + y^2 < 1 , x^2 + z^2 < 1\}$
Použila jsem tuto substituci:
$x = r \cos{\varphi}$
$y = r \sin{\varphi}$
$z = R; r>0, \varphi \in (-\pi,\pi), R \in \mathbb{R}$
$J = r$

nové meze:
$0<r<1$
$-\sqrt{1-r^2cos^2{\varphi}} < R < \sqrt{1-r^2cos^2{\varphi}}$

počítám tedy tento integrál:
$\int_{0}^1 \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\sqrt{1-r^2cos^2{\varphi}}}^{\sqrt{1-r^2cos^2{\varphi}}} r \mathrm{d}R \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}r =\int_{0}^1 \int_{-\pi}^{\pi} 2r \sqrt{1-r^2cos^2{\varphi}} \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}r =$

$\int_{-\pi}^{\pi} \[ -\frac{(1-(\cos{\varphi})^2 r^2)^{\frac32}}{3 (\cos{\varphi})^2} \]^1_0 \mathrm{d}\varphi = \int_{-\pi}^{\pi} -\frac{(1-(\cos{\varphi})^2)^{\frac32}}{3 (\cos{\varphi})^2} + \frac{1}{3 (\cos{\varphi})^2}\mathrm{d}\varphi$

prostě nic hezkého to není, obávám se tedy, že někde dělám chybu.
Mohl by mi prosím někdo s tím poradit? Díky :)

Rumburak

↑ drabi:
Ahoj.

Chybu jsem neobjevil.

Ale domnívám se, že by se dalo využít symetrií, které množina $M = \{\[x,y,z\] \in \mathbb{R}^3; x^2 + y^2 < 1 , x^2 + z^2 < 1\}$ vykazuje.
Takže míra množiny $M_1 = \{\[x,y,z\] \in \mathbb{R}^3; x^2 + y^2 < 1 , x^2 + z^2 < 1 , y > 0, z > 0\}$ bude čtvrtinou míry množiny $M$
a míra množiny

(*) $M_2 = \{\[x,y,z\] \in \mathbb{R}^3; x^2 + y^2 < 1 , x^2 + z^2 < 1 , y > 0, z > 0 , z < y\}$

bude polovinou míry množiny $M_1$ . Při tom v definici (*) množiny $M_2$ je podmínka $x^2 + z^2 < 1$ už nadbytečná (vyplývá z ostatních),
takže ji můžeme z definice (*) vypustit a tím zjednodušit integraci přes tuto množinu.

drabi · 31. 08. 2012 16:33

↑ Rumburak:
Ahoj, díky za reakci.
Ty úpravy jsou mi jasné, tak to zkusím dopočítat, jak píšeš a uvidíme, co z toho dostaneme:

$\lambda(M) = 8 \lambda(M_2)$

$x = r \cos{\varphi}$
$y = r \sin{\varphi}$
$z = R; r>0, \varphi \in (-\pi,\pi), R \in \mathbb{R}$
$J = r$

nové meze:
$0<r<1$
$r \sin{\varphi}>0 \Rightarrow \sin{\varphi}>0 \Rightarrow \varphi \in (0, \pi)$
$0 < z < y \Rightarrow 0 < R < r \sin{\varphi}$

$\lambda(M) = 8 \lambda(M_2) = 8 \int_0^\pi \int_0^1 \int_0^{ r \sin{\varphi}} r \mathrm{d}R \mathrm{d}r \mathrm{d}\varphi =\\ = 8 \int_0^\pi \int_0^1 r^2 \sin{\varphi} \mathrm{d}r \mathrm{d}\varphi = 8 \int_0^\pi \frac{\sin{\varphi}}{3} \mathrm{d}\varphi = 16$

vypadá to dobře?
A mohl by ses prosím kouknout i na to první řešení, jestli postupuju dobře? Díky

Rumburak

↑ drabi:

To mi připadá správně, až na poslední úpravu - někam se ztratila 1/3.

K předchozímu výpočtu ↑ drabi:: neměl být první integrál na posledním řádku vynásoben dvojkou ? (zkouška zderivováním).

drabi · 31. 08. 2012 16:55

↑ Rumburak:
v obou případech máš pravdu:)
Každopádně mockrát děkuju

drabi · 31. 08. 2012 19:14

↑ Rumburak:
Mám ještě jeden dotaz, který sice nesouvisí s tímto příkladem, ale jde také o symetrie množiny.
Opět počítám míru množiny $M = \{\[x,y\] \in \mathbb{R}^2, x^2 + y^2 < 4, x^2 < 1 + y^2\}$
A teď si nejsem úplně jistá, zda to mohu napsat takto:
$M_1 = \{\[x,y\] \in \mathbb{R}^2, x^2 + y^2 < 4, x^2 < 1 + y^2, x > 0, y > 0\}$
$\lambda(M) = 4 \lambda(M_1)$
$M_1 = \{\[x,y\] \in \mathbb{R}^2, x^2 + y^2 < 4, x^2 < 1 + y^2, x > 0, y > 0, x < y\}$
pak podmínka $x^2 < 1 + y^2$ platí vždy
$\lambda(M_1) = 2 \lambda(M_2)$
a celkově tedy $\lambda(M) = 8 \lambda(M_2)$
je to tak? Nebo se to řeší nějak úplně jinak?

Rumburak · 01. 09. 2012 09:48

↑ drabi:
Rovnost $\lambda(M) = 4 \lambda(M_1)$ plynoucí ze symetrie množiny $M$ podle obou souřadnicových os je v pořádku i zde.

Avšak v té předchozí úloze byla rovnost $\lambda(M_1) = 2 \lambda(M_2)$ dána tím, že množina $M_1$ byla symetrická podle roviny o rovnici $y = z$ ,
zatímco v tomto případě analogická situace (symetrie množíny $M_1$ podle přímky $y = x$ ) nenastévá.

Ale dalo by se použít $\lambda(M) = 2 \lambda(M_3)$ , kde $M_3 = \{\[x,y\] \in \mathbb{R}^2, x^2 + y^2 < 4, x^2 < 1 + y^2, x < y\}$ ,
zde se uptatní středová souměrnost podle počátku.

Bude Ti to jasné, když si nakreslíš obrázek ( $M$ je část kruhu omezená ještě hypebolou).

Rumburak · 01. 09. 2012 10:03

↑ drabi:

Ještě poznámka k té původní úloze: trojrozměrnou míru množiny $M = \{\[x,y,z\] \in \mathbb{R}^3; x^2 + y^2 < 1 , x^2 + z^2 < 1\}$
lze velmi rychle spočítat i bez substituce, pokud Fubiniovu větu použijeme šikovně:

$\iiint_M \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \int_{-1}^1 $\iint_{Q(x)}\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z$ \mathrm{d}x$ ,

kde $Q(x) = \{[y, z] \in \mathbb{R}^2 : y^2 < 1 - x^2 , z^2 < 1 - x^2 \}$ , což pro uvažovaná $x$ je čtverec o straně délky $2\sqrt{1 - x^2}$ .