Matematické Fórum

lukaszh · 17. 11. 2008 12:01

ahojte,
aký trik by som mal použiť pri tejto limite:
$\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x\tan x}$
dík

Pavel Brožek

L'Hospital, Taylorův rozvoj, známé limity
$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\nl \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$

Všechny tyto způsoby jsou vlastně o tom samém.

Marian · 17. 11. 2008 12:08 — Editoval Marian (17. 11. 2008 12:09)

↑ lukaszh:↑ BrozekP:
Zkusil bych tuto úpravu třeba
$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x\cdot\tan x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}\cdot\frac{x}{\tan x}=\;\dots$
Tohle je už ale snadné.

lukaszh · 17. 11. 2008 12:09

↑ BrozekP:
Mohol by si prosím rozpísať postup. Počítať mám bez použitia derivácii a rozvojov, len s použitím limít ktoré si uviedol. Nejako to tam nevidím :-)

lukaszh · 17. 11. 2008 12:11

↑ Marian:
No jasné, díky
↑ BrozekP:
Už netreba :-))

Marian · 17. 11. 2008 12:18

↑ lukaszh:
Ještě mě napadá toto z jednodušších postupů:
$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x\tan x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos ^2\frac{x}{2}-\sin ^2\frac{x}{2}-\sin ^2\frac{x}{2}-\cos ^2\frac{x}{2}}{x\cdot\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos x}}= \lim_{x\to 0}\frac{-2\sin ^2\frac{x}{2}}{x\cdot\frac{2\sin\frac{x}{2}\boxed{\cos\frac{x}{2}}}{\boxed{\cos x}}}=\lim_{x\to 0}\frac{-\sin\frac{x}{2}}{x}=-\frac{1}{2}.$
Zarámované části ve výpočtu se v limitě rovnají jedničce, zanedbal jsem je tedy.

Matematické Fórum

#1 17. 11. 2008 12:01

goniometrická limita

#2 17. 11. 2008 12:06 — Editoval BrozekP (17. 11. 2008 12:07)

Re: goniometrická limita

#3 17. 11. 2008 12:08 — Editoval Marian (17. 11. 2008 12:09)

Re: goniometrická limita

#4 17. 11. 2008 12:09

Re: goniometrická limita

#5 17. 11. 2008 12:11

Re: goniometrická limita

#6 17. 11. 2008 12:18

Re: goniometrická limita

Zápatí