Matematické Fórum

Denley · 27. 08. 2012 09:26

Ahoj, poradili byste mi, prosím, s následujícím zadáním?

V testu je 15 otázek, ke každé otázce jsou uvedeny čtyři ruzné odpovedi, z nichž právě jedna je správná. Student zná správnou odpověď na pět otázek. U zbývajícich volí odpovědi zcela náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že odpoví správně na : práve 10 otázek ?

Geronimo · 27. 08. 2012 12:39

Ja bych postupoval takto, ale nejsem si jisty korektnosti postupu, tak pripadne prosim kolegy o korekci.

Nejprve si vypocitam pravdepodobnost, ze spravne odpovi na otazku:

Mame dva druhy otazek - na kterou zna odpoved a na kterou ne.
Pravdepodobnost, ze dostane otazku, na kterou zna odpoved je $\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$ . Pravdepodobnost, ze nezna odpoved je komplementem, tedy $\frac{2}{3}$ .

Kdyz na otazku zna odpoved, tak pravdepodobnost, ze spravne odpovi je rovna $1$ . V opacnem pripade odpovi spravne jen s pravdepodobnosti $\frac{1}{4}$ .

Celkova pravdepodobnost, ze odpovi spravne je pote: $\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ .

Ted pouziji Bernoulliho vzorec pro vypocet pravdepodobnosti, ze prave 10 otazek bude spravne.

$P[X=x]=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$

V nasem pripade tedy:

$P[X=10]=\binom{15}{10}\frac{1}{2}^{10}(1-\frac{1}{2})^{15-10}\approx 0,0916$

Tedy pravdepodobnost by mela byt zaokrouhlene kolem 9%.

nejsem_tonda

↑ Geronimo:

Neni to spravne. Nejdriv ukazu spravne reseni.

Znam spravnou odpoved na 5 otazek, takze tech pet spravne zodpovim. Ted mam pred sebou 10 otazek, u kterych netusim. Otazkou je, jaka je pravdepodobnost, ze prave 5 z nich zodpovim spravne (abych jich mel dohromady spravne 10), pricemz u kazde mam sanci $1/4$ , ze se trefim, a $3/4$ , ze se netrefim. Podle Bernoulliho schematu je to tedy

${10 \choose 5}\left(\frac{1}{4}\right)^5\left(\frac{3}{4}\right)^5 \doteq 0.0584 = 5.84\%$

Ted ale muze byt zajimave srovnani meho postupu a postupu od Geronima, protoze nemusi byt jasne, kde dela Geronimo chybu, ze mu vychazi vetsi pravdepodobnost. Chyba je v tom, ze tech 5 otazek, jejichz odpoved znam, neni v Geronimove postupu fixnich pet otazek. Jeho vypocet (zahaleny Bernoulliho schematem) dovoluje menit sadu techto peti otazek, a proto mu vychazi vetsi pravdepodobnost.

Aby byl rozdil jeste jasnejsi, zkusim to ukazat na konkretnim (pozmenenem) prikladu. Predpokladejme, ze v testu jsou jen 2 otazky, kazda nabizi 100 moznych odpovedi, z nichz prave jedna je spravna a ja znam spravnou odpoved na jednu otazku, u druhe otazky volim odpoved zcela nahodne. Jaka je pravdepodobnost, ze odpovim na obe otazky spravne?
Ituitivni (spravna) odpoved je, ze to je preci naprosto jasne, je to $1/100$ .
Podle Geronimova postupu mam ale pravdepodobnost spravneho zodpovezeni u kazde otazky
$\frac{1}{2}\cdot1 + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{100}=\frac{101}{200}$
a s vyuzitim jeho vypoctu je pak pravdepodobnost spravneho zodpovezni obou otazek
${2 \choose 2}\left(\frac{101}{200}\right)^2\left(\frac{99}{200}\right)^0 = \frac{101}{200}\cdot\frac{101}{200} \doteq 25.5\%$

Mimochodem kdyby byl problem v samotnem pochopeni Bernoulliho schematu, doporucuju toto vysvetleni.

Geronimo · 01. 09. 2012 12:05

↑ nejsem_tonda:

Diky za korekci. Nad stejnym resenim jsem uvazoval jeste tyz den po ceste z plavani, ale nejak jsem to nakonec "zazdil".

Matematické Fórum

#1 27. 08. 2012 09:26

Pravdepodobnost-15 otázek

#2 27. 08. 2012 12:39

Re: Pravdepodobnost-15 otázek

#3 01. 09. 2012 11:36 — Editoval nejsem_tonda (01. 09. 2012 12:11)

Re: Pravdepodobnost-15 otázek

#4 01. 09. 2012 12:05

Re: Pravdepodobnost-15 otázek

Zápatí