Matematické Fórum

simcilka · 29. 08. 2012 15:27

Dobry den, mam zadani ke kazde stene pravidelneho ctyrstenu je prilepen nejvetsi mozny jehlan, aby vznikle teleso bylo konvexni, prilepene jehlany jsou shodne. Jaky je objem telesa? Neumim is to ani prestavit, takze nemohu ani nic pocitat, pomuzete mi? Dekuji

vanok · 29. 08. 2012 16:00 — Editoval vanok (30. 08. 2012 09:52)

Ahoj ↑ simcilka:,
Taky ihlan je zasa musi splnit podmienku konvexity ( cize , pre kazde dva body M; N noveho telesa, je v telese tiez usecka [MN]
Poznamka: Ak by sme " nalepili" na kazdu stenu dalsie 4 pravidelne stvorsteny dostali by sme teleso objemu= 5 X objem daneho stvorstenu. ( ktory zial nie je konvexny )
toto akurat zarucuje,ze hladany objem je nemnsi ako 5 X objem daneho stvorstenu.

Edit urobeny, vdaka poznamke kolegu ↑ Rumburak:.

Rumburak

Ahoj ↑ simcilka: ä ↑ vanok:.

Když vezmeme už tři shodné pravidelné čtyřstěny U, V, W a slepíme z nich další těleso tak, aby každý ze čtyřstěnů V, W měl společnou
stěnu s čtyřstěnem U, potom mi připadá, že toto těleso konvexní nebude, protože úhel $\sigma$ dvou stěn prav. čtyřtěnu je větší než 60 stopňů
a při některé hraně čtyřstěnu U vznikne ve slepeném tělese vnitřní úhel sousedních stěn velikosti $3\sigma$ .

Nebo se pletu ?

Rumburak

↑ simcilka:

Tím hledaným tělesem bude krychle o hraně velikosti $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ , kde $a$ je velikost hrany daného pravidelného čtyřstěnu.

Pro větší názornost se na to podívejme z opačného konce.

Uvažujme krychli $ABCDA'B'C'D'$ , v níž dolní podstavou je čtverec $ABCD$ s úhlopříčkami $AC$ , $BD$ ,
pobočnými hrananami jsou $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ , $DD'$ . V této krychli je "skryt" pravidelný čtyřstěn $ACB'D'$ ,
jehož hrany jsou úhlopříčkami stěn krychle.