Matematické Fórum

Honza90 · 02. 09. 2012 22:19

Dobrý den. Mám problém se správným určením mezí po převodu do polárních souřadnic. Množinu pro integraci tvoří kružnice se středem v počátku a poloměrem 1, menší kružnice mají středy na ose x v bodech +-1/2 a mají poloměr 1/2, z obrázku je to myslím jasné :)

volím polární souřadnice a nějak mi nejde rozumně stanovit v jakých mezích bude $r$ a úhel $\varphi$ . Díky za návod nebo rovnou odpověď.

Geronimo

↑ Honza90:

A ukolem je vlastne co? Zjistit obsah vysrafovane casti?
Potom mi prijde prevod do polarnich souradnic az moc komplikovana cesta.

Plati, ze "dolni pulkruznice pasuje do horni pulkruznice", takze cely obsah je polovina velke kruznice.
Pokud bys to chtel pocitat pres integral, tak je snadnejsi to pocitat jako obsah ohraniceny dvema krivkami.

U polarnich souradnic by uhel lezel v intervalu $(0,\frac{3}{2}\pi)$ , u $r$ bych se musel trochu dele zamyslet, takze pokud to vylozene nechces pocitat pres polarni souradnice, tak bych to $r$ nechal bez odpovedi.

nejsem_tonda

Hadam, ze cilem je plochu parametrizovat pro nejaky slozitejsi vypocet (treba pro vypocet plosneho integralu).

Klicem je vyuzit Thaletovu kruznici

(vzdalenost $\cos\varphi$ se mysli mezi vyznacenymi body)

Parametrizaci bych celkove rozdelil na tri casti, v prvni z nich je $\varphi\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ a $r\in(\cos\varphi,1)$ .

Honza90 · 03. 09. 2012 16:32

↑ nejsem_tonda:
Původně to byla úloha na výpočet těžistě, to šlo vyřešit i bez integrování... Nicméně, mě přijde zajímavější zjistit jak by se tato množina vymezila čistě pomocí $r$ a $\varphi$ , a to bez dělění na menší množiny. Celá množina je normální k ose y, tak by to mělo jít, ne? Úhel je poměrně intuitivně $<0;\frac{3}{2}\pi >$ a pokud se nepeltu tak $r$ by mělo jít spočítat dosazením $x=r\cos \varphi$ a $y=r\sin \varphi$ do rovnic těch hraničních kružnic. Tento postup mě však nedovedl k výsledku, který by fungoval v daném rozsahu $\varphi$ .

Rumburak

↑ Honza90:

Ahoj.

Zkus spočítat meze $\varphi_1(r) < \varphi_2(r)$ pro $\varphi$ při zvoleném $r \in (0, 1)$ . Zdá se, že při této cestě nebude nutno nic "větvit",
ale ty funkce $\varphi_1(r), \varphi_2(r)$ pěkné asi nebudou.

EDIT. Pozitivní zjištění: platí zde inentita $\varphi_1(r) + \pi = \varphi_2(r)$ . Dále (viz ↑ nejsem_tonda:) $\varphi_1(r) = \arccos r$ .

Matematické Fórum

#1 02. 09. 2012 22:19

meze pro integraci

#2 02. 09. 2012 22:30 — Editoval Geronimo (02. 09. 2012 22:30)

Re: meze pro integraci

#3 02. 09. 2012 22:52 — Editoval nejsem_tonda (02. 09. 2012 23:54)

Re: meze pro integraci

#4 03. 09. 2012 16:32

Re: meze pro integraci

#5 05. 09. 2012 10:38 — Editoval Rumburak (05. 09. 2012 10:56)

Re: meze pro integraci

Zápatí