Matematické Fórum

barbora87 · 03. 09. 2012 00:02

Dobrý den,

mám zadání jsou dany body A=[1,2]a B=[4,3] najdete všechny mřížové body C tak aby trojúhelník ABC byl ostrouhly rovnoramenny se zakladnou AB, mezi vsemi trouhleniky ABC najdete takove ktere maji nejmensi mozny obsah a mezi vsemi trouhelniky ABC najdete takove ktere maji celociselny obsah.

Mohl byste mi prosim nekdo poradit jak mam zacit? dekuji

Stýv · 03. 09. 2012 01:22

začni obrázkem

Oxyd · 03. 09. 2012 01:31 — Editoval Oxyd (03. 09. 2012 01:37)

Zdravím.

Začal bych tím, že když je rovnoramenný se základnou AB, tak všechny možné body C musí splňovat rovnici |A - C| = |B - C|. Z toho dostaneš rovnici, kterou musí splňovat souřadnice bodu C, aby C mohl být vrchol rovnoramenného trojúhelníka ABC.

Edit: Ano, to, co jsem napsal, je až druhý krok – první je ten, co napsal Stýv. :)

A když už jsem tak u toho, bod C musí ležet na ose úsečky AB – tedy jeho souřadnice musí splňovat rovnici té osy. Řešení rovnice |A - C| = |B - C| je jedna možnost, jak se k rovnici osy dostat – když nad tím přemýšlím, tak asi ne ta nejjednodušší. :)

Cheop · 03. 09. 2012 09:05 — Editoval Cheop (03. 09. 2012 11:37)

↑ barbora87:
Vychází mi toto:
Bod C bude ležet v průsečíku kružnice $(x-2,5)^2+(y-2,5)^2=\frac{2k^2}{5}$
a přímky $3x+y-10=0$
1) Pro ostroúhlý trojúhelník musí platit $k\,>\,2,5$
2) Nejmenší obsah bude pro $k=2,5$ to bude pravoúhlý trojúhelník rovnoramenný (k se tedy musí blížit k 2,5 zprava)
3) Celočíselný obsah trojúhelníku bude pro $k=(3,4,5,6,........\infty)$ a pak obsah bude 3,4,5....

Body C budou:
$C=\left(\frac{25\pm\,2k}{10};\,\frac{25\mp\,6k}{10}\right)$
Pro $k=5$ bude bod C:
$C_{11}=(3,5;\,-0,5)\\C_1=(1,5;\,5,5)$
Tady je brázek pro minimum a obsah 5 (jako ukázka)

barbora87 · 03. 09. 2012 14:56

děkuji za vysvětlení, ale nechapu, jak a kde mi to řeší že bod C je právě v mřížových bodech a dále jak se přislo na ten obsah, pokud ho počítám podle determinantu, tak mi vychazi jedna napr C[1,3]? a nevim jak mam dat do rovnosti |A-C|=|B-C| nevychazi mi to,..jiank zbytek chapu

barbora87 · 03. 09. 2012 15:04

↑ Cheop:
děkuji za obrázek a za vysledky, vychzi mi to stejně, ale podle mě to neřeší podmínku že bod C musím být v mřížových bodech, tedy podle mě pro body C11 a C1 to není správné řešení, ne?

Rumburak · 03. 09. 2012 16:28

↑ barbora87:

Už víš, že body C nutno hledat na přímce o rovnici $3x + y - 10 = 0$ neboli

(1) $y = -3x +10$ .

Mřížové body roviny jsou takové, jejichž obě souřadnice jsou celočíselné. Takže Tě podle mezivýsledku (1)
budou zajímat pouze body

$C_k = [k , -3k +10] , k \in \mathbb{Z}$ ,

z nichž dále budeme vybírat podle dalších podmínek úlohy. V nich se hovoří o obasahu trojúhelníků $ABC_k$ .
Dovedla bys ho vyjádřit jako funkci proměnné $k$ ?

barbora87 · 03. 09. 2012 16:56

↑ Rumburak:

ale tyto body Ck mi zase nesplnuji podminku pro rovnoramenny trojuhlenik ne?

Rumburak · 03. 09. 2012 17:14

↑ barbora87:
Body C_k leží na přímce $3x + y - 10 = 0$ a pokud ta je osou úsečky AB, potom C_k jsou vrcholy rovnoramenného trojúh. se základnou AB.

barbora87 · 03. 09. 2012 18:29

aha, ok dekuji uz to vidim;-)

Cheop · 03. 09. 2012 21:51 — Editoval Cheop (04. 09. 2012 09:13)

↑ barbora87:
Tak abychom to uzavřeli.
Bod C bude mít souřadnice:
$C=\left(\frac{5\pm(2k-1)}{2};\,\frac{5\mp(6k-3)}{2}\right)$
Pro $k=(2,3,4,5......)$ bude splněna podmína rovnoramenného ostroúhlého trojhelníku a bod C bude mřížkový bod
Pro $k=2$ bude mít trojúhelník nejmenší obsah (7,5)
Podmínka, že to bude troj. rovnoramenný, ostroúhlý a bod C bude mřížkový a jeho obsah bude celočíselný,
ta nebude splněna nikdy.
Obsahy s mřížovými body budou vždy "na poloviny"
Obsahy budou $S=\frac{10k-5}{2}$ což je pro $k=(2,3,4,5....)$ vždy číslo desetinné
Obsahy budou 7,5; 12,5; 17,5; 22,5.......