Matematické Fórum

skoroakvarista · 11. 07. 2012 13:28

Zdravím, mám otázku ohledně důkazu linearity plošného integrálu 1. druhu.

Trocha značení: $M\subset \mathrm{\textbf{\textrm{E}}}^2$ je oblast, $\vec{\wp}(u,v):M \mapsto \mathrm{\textbf{\textrm{E}}}^3$ je parametrizace plochy v $\mathrm{\textbf{\textrm{E}}}^3$ , $f(\vec{x}),g(\vec{x}):\mathrm{\textbf{\textrm{E}}}^3 \mapsto \mathrm{\textbf{\textrm{R}}}$ jsou funkce a $\alpha,\beta \in \mathrm{\textbf{\textrm{R}}}$ .

Samotný důkaz: Podle definice jsem zadaný integrál "převedl" na Riemannův integrál přes dvourozměrnou oblast M. Ten lze převést pomocí charakteristické funkce na RI přes kompaktní dvourozměrný interval J, pro nějž už máme linearitu dokázanou.
(*) Zbytek na obrázku zde.

Zajímá mne, jestli může nastat situace, kdy nebude existovat integrál na pravé straně rovnosti (*), ale bude existovat součet integrálů (resp. integrály samotné) a zároveň bude tento součet roven integrálu na levé straně rovnosti (*). - Toto mě napadá jako jediná "díra", kdy by důkaz nestačil.
Může být dokázáno takto? Chybí tomu něco? Jde se na důkaz úplně jinudy?

Rumburak · 11. 07. 2012 16:47

↑ skoroakvarista:
Zdravím.

Když existují integrály $\int_{\langle \vec{\wp} \rangle} f(\vec{x}) \,\texttt{d} \mu_s(\vec{x})$ , $\int_{\langle \vec{\wp} \rangle} g(\vec{x}) \,\texttt{d} \mu_s(\vec{x})$ a jejich lineární kombinace

$L :=\alpha\int_{\langle \vec{\wp} \rangle} f(\vec{x}) \,\texttt{d} \mu_s(\vec{x})+ \beta \int_{\langle \vec{\wp} \rangle} g(\vec{x}) \,\texttt{d} \mu_s(\vec{x})$

má smysl, tj. nevede k neurčitým výrazům typu $0\cdot \infty$ ani $\infty - \infty$ , potom existuje též integrál

$P :=\int_{\langle \vec{\wp} \rangle} \big( \alpha f(\vec{x})+\beta g(\vev{x})\big)\, \mathrm{d} \mu_s(\vec{x})$

a platí $L = P$ . V případě, že definici plošného intrgrálu stavíme na Riemannově dvourozměrném integrálu nabývajícím pouze konečných hodnot,
pak problém s neurčitými výrazy samozřejmě odpadá.

Odpovídající integrál

by nemusel existovat, když by ty funkce zajišťující parametrisaci plochy neměly rozumné vlastnosti. Obvykle se předpokládá spojitost parc. derivavací
prvního řádu a nenulovost Jacobiho determinantů, které se tam objeví. Pakliže bychom definici plošného integrálu stavěli obecněji na dvourozměrném
integrálu Lebesgueově, mohli bychom tyto předpoklady poněkud zmírnit. Je zde souvislost s větou o substituci v dvourozměrném integrálu.

skoroakvarista · 11. 07. 2012 18:06

↑ Rumburak:
Děkuji za reakci, jsem o něco moudřejší. Šel jsem na to z druhé strany, přestože je v předpokladech požadována existence dílčích integrálů $\int_{\langle \vec{\wp} \rangle} f(\vec{x}) \,\texttt{d} \mu_s(\vec{x})$ , $\int_{\langle \vec{\wp} \rangle} g(\vec{x}) \,\texttt{d} \mu_s(\vec{x})$ .
Na parametrizaci není v předpokladech věty kladen žádný požadavek, jen že $\vec{\wp}(u,v):M \mapsto \mathrm{\textbf{\textrm{E}}}^3$ je parametrizace plochy v $\mathrm{\textbf{\textrm{E}}}^3$ . V definici plošného integrálu je ale požadována jednoduchost a hladká regulárnost parametrizované plochy - tedy prostota a spojitá diferencovatelnost $\vec{\wp}(u,v)$ a nenulovost $\left\| \frac{\mathcal{D} \vec{\wp}}{\mathcal{D} u}\times \frac{\mathcal{D} \vec{\wp}}{\mathcal{D} v} \right\|(u,v)$ na $M$ . Což by měly být ony, Vámi zmiňované, rozumné vlastnosti.
Zajistí mi ale v tomto případě (rozumné vlastnosti požadované v definici nejsou v předpokladech věty) existence inegrálu $\int_{\langle \vec{\wp} \rangle} f(\vec{x}) \,\texttt{d} \mu_s(\vec{x})$ z definice plošného integrálu existenci R. integrálu $\iint_M f\big(\vec{\wp}(u,v)\big)\cdot \left\| \frac{\mathcal{D} \vec{\wp}}{\mathcal{D} u}\times \frac{\mathcal{D} \vec{\wp}}{\mathcal{D} v} \right\|(u,v) \,\texttt{d} u \,\texttt{d} v$ ? (Lebesgueův v této části skript ještě není vybudován).

Pokud ano, pak mi postup důkazu dává smysl až na situaci, kdy oblast $M$ nebude omezná, abych ji mohl "zavřít" do kompaktního dvourozměrného intervalu $J$ .

Rumburak

↑ skoroakvarista:
Nenulovost $\left\| \frac{\mathcal{D} \vec{\wp}}{\mathcal{D} u}\times \frac{\mathcal{D} \vec{\wp}}{\mathcal{D} v} \right\|(u,v)$ , to je ono (je to obecnější, než co jsem poněkud zbrkle uvedl já o nenulovosti Jacobiho deteminantů - postačí, bude-li
nenulový alespoň jeden z nich).

Když oblast $M$ nebude omezená, pak ji opravdu nelze "zavřít" do kompaktního dvourozměrného intervalu $J$ (hezky řečeno :-)) a nemá tudíž smysl hovořit
o Riemannově integrálu přes tuto oblast. Bude pak vhodné použít Lebesgueův integrál, který je zobecněním Riemannova a klade menší nároky na integrační
množinu i na integrovanou funkci.

Jinými slovy:

Máme-li k disposici pouze Riemannův (dvourozměrný) integrál, pak regulární parametrisaci plochy pro výpočet plošného integrálu nutno volit tak, aby uspořádaná
dvojice parametrů probíhala omezenou množinu $M$ (obvykle omezenou oblast nebo její uzávěr), při čemž také ona funkce

(1) $f\big(\vec{\wp}(u,v)\big)\cdot \left\| \frac{\mathcal{D} \vec{\wp}}{\mathcal{D} u}\times \frac{\mathcal{D} \vec{\wp}}{\mathcal{D} v} \right\|(u,v)$ ,

kterou v oné větě přes množinu $M$ integrujeme, musí být omezená, neboť i to požaduje definice Riemannova integrálu

(2) $\iint_M f\big(\vec{\wp}(u,v)\big)\cdot \left\| \frac{\mathcal{D} \vec{\wp}}{\mathcal{D} u}\times \frac{\mathcal{D} \vec{\wp}}{\mathcal{D} v} \right\|(u,v) \,\texttt{d} u \,\texttt{d} v$ .

Samo splnění uvedených podmínek ještě existenci inegrálu (2) neraručje, ale bude-li funkce (1) navíc ještě např. spojitá v $M$ , pak už existence integrálu (2)
zaručena bude.

skoroakvarista · 13. 07. 2012 11:48

↑ Rumburak:
Tak jsem nad tím popřemýšlel a stále mi něco nesedí. Spojitost funkce (1) z Vašeho předchozího příspěvku nejsem schopen zaručit, pokud nebude spojitá samotná funkce $f(\vec{x})$ , ostatní zúčastněné funkce jsou spojité z definice. Podařilo se mi najít existenční větu pouze pro křivkový integrál, ale nejspíš bude existovat i pro plošný v podobném znění. Jen mi stále chybí ta spojitost.

Uvedu naší definici plošnéh integrálu:
Nechť $\vec{\wp}(u,v):M \mapsto \mathrm{\textbf{\textrm{E}}}^3$ je parametrizace jednoduché hladké regulární plochy $\langle \vec{\wp} \rangle$ v $\mathrm{\textbf{\textrm{E}}}^3$ . Nechť $f(\vec{x}):\mathrm{\textbf{\textrm{E}}}^3 \mapsto \mathrm{\textbf{\textrm{R}}}$ je funkce definovaná alespoň na množině $\langle \vec{\wp} \rangle$ . Potom definujeme plošný integrál prvního druhu z funkce $f(\vec{x})$ přes plochu $\langle \vec{\wp} \rangle$ předpisem , pokud integrál napravo existuje.

Je možné při takovéto definici říci, že přestože integrál na levé straně definiční rovnosti existuje (z předpokladu diskutované věty), tak integrál pravé straně existovat nemusí? Možná jsem se do toho už sám strašně zamotal a řeším jasné věci. Pokud by integrál na pravé straně existovat musel, tak by musel zároveň splňovat všechny požadované vlastnosti a už by mi to dávalo zase smysl.

Rumburak

↑ skoroakvarista:

V této "definici" vidím následující problém: je pojata tak, že plošný integrál závisí - přinejmenším formálně - na zvolené parametrisaci té plochy.
Takže - má-li na pravé straně rovnice

být např. Riemannův integrál z omezené funkce (jejíž body nespojitosti dávají množinu mající nulovou Lebesgueovu dvourozměrnou míru) přes
omezenou množinu, pak by se mohlo stát, že při některé parametrisaci by tento integrál existoval a při jiné nikoliv - triviálně když by množina $M$
byla v jednom případě omezená a ve druhém ne. Při Lebesgueově integrálu nebo když bychom podmínku na omezenost množiny $M$ do té definice
přidali, by to bylo lepší, ale zda by pak definice byla korektní (nezávislá na zvolené parametrisaci plochy) na 100%, to neumím říci - zase až tak
do hloubky té teorie nevidím.

V lepší literatuře se integrály přes variety zavádějí tak, aby byly vůči parametriaci invariantní, což se děje za cenu obtížnější teorie.

skoroakvarista · 04. 08. 2012 22:47

↑ Rumburak:
Tak jsem vše nakonec řešil se cvičícím a nakonec i s přednášejícím.

Došli jsme k tomu, že by znění věty mělo být blíže specifikováno.
Věta: Nechť $\vec{\wp}(u,v)$ je parametrizace plochy v $\mathrm{\textbf{\textrm{E}}}^3$ , $f(\vec{x}),g(\vec{x}):\mathrm{\textbf{\textrm{E}}}^3 \mapsto \mathrm{\textbf{\textrm{R}}}$ nechť jsou funkce a $\alpha, \beta \in \mathrm{\textbf{\textrm{R}}}$ . Pak platí rovnost
, pokud integrály na pravé straně existují a jsou konečné. (červeně to co by ve větě asi mělo být, ale není)

Prý se u plošných integrálů obecně předpokládá, že existence=konečnost. Kdo všechno to předpokládá, mi snad ještě přednášející zodpoví. Já jsem to třeba nepředpokládal a z toho praměnily vesměs všechny nesrovnalosti.

Co se týče parametrizace, byla mi cvičícím nabídnuta definice, kde je omezenost množiny $M$ požadována. Pokud ale předpokládáme existence=konečnost, tak je to už myslím jedno.

Počkám ještě na odpověď přednášejícího a tím by mohlo být téma vyčerpané.

Děkuji mnohokrát kolegovi Rumburakovi za cenné postřehy a rady.

Rumburak

↑ skoroakvarista:

K tomu červeně označenému: domnívám se, že by šalamounsky stačilo celkově předpokládat "pokud pravá strana rovnosti má smysl" ,
v tom je zahrnuta i existence integrálů, a pokud to jsou de facto Riemannovy integrály (v jeho "čisté" podobě a ne nějaká jeho "limitní"
zobecněnní ), pak jsou i konečné. Věta by pak měla platnost i při Lebesqgueově integrálu, aniž by byla zkrácena o případy , kdy výrazům
s nekonečnem lze přisoudit smysl, například $(-2)\cdot 4 + 3 \cdot (+\infty) = +\infty$ nebo $(-2)\cdot (-\infty) + 3 \cdot (+\infty) = +\infty$ a pod.

Zda předpokládat či nepředpokládat omezenost množiny M závisí na tom, zda jí požaduje či nepožaduje definice dvourozměrného integrálu ,
o nějž chceme definici integrálu plošného opírat. Pakliže k tomuto účelu používáme dvourozměrný inegrál Riemannův, který omezenost intrgrační
množiny požaduje, pak tuto skutečnost musíme respektovat i v takto pojaté definici integrálu plošného.

skoroakvarista · 03. 09. 2012 18:59

↑ Rumburak:
Sám pro sebe bych raději ve větě viděl konečnost integrálů než "jen" smysl pravé strany. Jak jsem již několikrát psal, Lebesgueův integrál není v této části skript vybudován, tudíž mi připouštění nekonečnosti integrálů přijde zavádějící.

Co jsem se ještě dozvěděl: Plošný integrál je při naší definici pouze jiným označením Riemannova integrálu. Pokud tedy vím, že existuje konečný plošný integrál, existuje k němu i definiční RI (který nemusí splňovat své definiční podmínky, ale prostě existuje) a má stejnou hodnotu. Pokud jsou tedy příslušné RI konečné, jsou konečné i jejich lineární kombinace. Tím je vlastně důkaz proveden.

Tímto ještě jednou mnohokrát děkuji, nechci se v tom nadále víc šťourat.

Rumburak · 04. 09. 2012 09:05

↑ skoroakvarista:
Ano, je to tak.

Podmínka "má-li pravá strana smysl" v případě "klasických" Riemannových integrálů znamená mj. jejich konečnost,
teprve v případě integrálů podle obecnějších definic (např. Lebesque) může mít širší význam.
Případ s R-integrálem se tím nepokazí a případ s L-integrálem není ochuzen.

Matematické Fórum

#1 11. 07. 2012 13:28

Linearita plošného integrálu 1. druhu

#2 11. 07. 2012 16:47

Re: Linearita plošného integrálu 1. druhu

#3 11. 07. 2012 18:06

Re: Linearita plošného integrálu 1. druhu

#4 12. 07. 2012 10:49 — Editoval Rumburak (12. 07. 2012 10:59)

Re: Linearita plošného integrálu 1. druhu

#5 13. 07. 2012 11:48

Re: Linearita plošného integrálu 1. druhu

#6 13. 07. 2012 14:26 — Editoval Rumburak (13. 07. 2012 15:16)

Re: Linearita plošného integrálu 1. druhu

#7 04. 08. 2012 22:47

Re: Linearita plošného integrálu 1. druhu

#8 06. 08. 2012 09:58 — Editoval Rumburak (06. 08. 2012 10:00)

Re: Linearita plošného integrálu 1. druhu

#9 03. 09. 2012 18:59

Re: Linearita plošného integrálu 1. druhu

#10 04. 09. 2012 09:05

Re: Linearita plošného integrálu 1. druhu

Zápatí