Matematické Fórum

Skrytý text:
Označme prirodzené číslo k. Chceme (b-2c)(b+2c)=k^2. To je ekvivalentné (b-k)(b+k)=4c^2. Na pravej strane máme číslo, ktorého delitele sú 2, 4, c, c^2. Na ľavej strane máme súčin dvoch celých čísel. Môžeme teda rozobrať prípady

(i) b-k=4, súčasne b+k=c^2. Súčtom týchto rovníc dostaneme 2b=4+c^2, kde b,c, sú prvočísla. To zrejme môže nastať iba ak c je párne, t.j. c = 2. Potom 2b=8 a b=4. b nie je prvočíselné, spor. Tento rozklad teda neponúka riešenie.

(ii) b-k=1, súčasne b+k=4c^2. Opäť súčtom dostaneme 2b=1+4c^2. Na pravej strane je však vždy nepárne číslo a na ľavej vždy párne. Tento rozklad opäť neponúka riešenie.

(iii) b-k=2c, súčasne b-k=2c. Súčtom rovníc dostaneme 2b=4c, t.j. b=2c. Prvočíslo b musí byť nutne párne, b=2. Odtiaľ c=1, čo nie je prvočíslo.

(iv) b-k=2, súčasne b+k=2c^2. Rovnakým postupom dostaneme 2b=2+2c^2. Po vydelení oboch strán dvojkou, b=1+c^2. Nech c =2. Potom b=5. Ak c > 2, potom je nutne nepárne a nenájdeme také b, aby bol splnený vzťah b=1+c^2.

Čiže dvojica, ktorú som našiel je b=5 a c=2. Myslím, že je jediná.