Matematické Fórum

lotoska · 05. 09. 2012 14:45

Prosím o pomoc, nevím, jak to dopočítat.

Zadání

Sn=222, n=12, $a_{1}=2$

Urči d, $a_{12}$

dosadila jsem

$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$
$a_{n}=2+(12-1)\cdot d$
$a_{n}=2+11d$

dál si nevím rady

Bati · 05. 09. 2012 14:49

Jaký vzorec znáš pro součet členů aritmetické poslounposti? Zkus ho použít.

lotoska

↑ Bati:

Myslíš jako
a1=2
a2=a1+2 =4
a3=a2+2=6........až
a12=24

U tohoto mě dle vzorečku výsledek nechce vyjít.

a dále.

$a_{12}=2+(12-1)\cdot d$
$24=11d$
$22/11=d$
$22/11=d$
$2=d$
Je to dobře ?

Rumburak

↑ lotoska:

Kolega ↑ Bati: měl jistě na mysli vzorec pro součet $S_n := a_1 + a_2 + ... + a_n$
prvých $n$ členů aritmetické posloupnosti. Mimochodem: na ten vzorec se příjde pěkným trikem:

(0) $2S_n = (a_1 + a_2 + ... + a_n) + (a_1 + a_2 + ... + a_n) =\\= (a_1 + a_2 + ... + a_n) + (a_n + a_{n-1} + ... + a_1) =\\=(a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + ... + (a_n + a_1)$ ,

v závěru tedy sčítáme $n$ "závorek" tvaru

(1) $(a_j + a_{n+1-j})$ pro $j = 1, 2, ... , n$ .

Je-li $(a_k)$ daná aritmetická posloupnost a $n$ dané přirozené číslo, pak všechny závorky (1) mají tutéž hodnotu
(nezávislou na sčítacím indexu $j$ - PROČ ?), tedy hodnotu $(a_1 + a_n)$ získanou pro $j=1$ . Takže podle (0)
máme $2S_n =n(a_1 + a_n)$ , což můžeme ještě různě upravovat.

lotoska

↑ Rumburak:

takže, jak to mám já to není dobře ?

Já se v tom nedokážu nyní zorientovat.

Bati · 05. 09. 2012 15:57

Ne, pokus se prosím znovu pochopit, co to je aritmetická posloupnost. Pak to pro tebe bude jistě jednoduché.

lotoska · 05. 09. 2012 16:04

↑ Bati:

Já, v tom mám pořádný zmatek, posloupnost je přece.

a1=2
a2=a1+2 =4
a3=a2+2=6........až
....
a12=24

a pak mám vypočítat to d.

Rumburak

↑ lotoska:

Ne, toto ↑ lotoska: bohužel není dobře.

Ze zadaných hodnot $a_{1}=2, S_{12}=222$ máš vypočítat neznámé hodnoty $a_{12}$ a $d$ .
Přítom ve druhém řádku Tvého odkazovaného postupu máš rovnici a2=a1+2 =4 , v níž PŘEDPOKLÁDÁŠ
(ovšem nesprávně), že d=2. Z tohoto Tvého postupu jsou správně pouze rovnice

$a_1=2$ a $a_{12}=2+(12-1)\cdot d$ .

Když toto spolu s $n = 12$ a $S_{12}=222$ dosadíš do vztahu pro součet $S_n$ , který jsem Ti odvodil,
dostaneš rovnici pro neznámou $d$ .

lotoska

↑ Rumburak:

tedy
2sn =n( $a_{1}+a_{n}$
$2\cdot 222=12\cdot (2+an)$
444=12(2an)
432/2=a12
216=a12

Moc se mi to nezdá.

já jsem to a12, právě počítala, že a1=2, tak a12=2 krát 12=24

Rumburak · 05. 09. 2012 16:54

↑ lotoska:
Máš tam tentokrát početní chybu . Přechodu od rovnice $2\cdot 222=12\cdot (2+a_n)$ k rovnici 444=12(2an) a dále k 432/2=a12
opravdu nerozumím (taktně řečeno) :-).

Rovnice $2\cdot 222=12\cdot (2+a_n)$ je sestavena správně, ale ještě správnější by bylo zapsat ji ve tvaru $2\cdot 222=12\cdot (2+a_{12})$
- když už dosavovat za $n$ , tak všude.

Z ní plyne

$2+a_{12} =\frac{2\cdot 222}{12} = \frac{222}{6} = \frac{111}{3} = 37$ , takže $a_{12} = 37 - 2 = 35$ .

jarrro · 05. 09. 2012 16:56 — Editoval jarrro (05. 09. 2012 17:08)

$s_n=\frac{$a_1+a_n$n}{2}\nl s_n=\frac{2a_1+$n-1$d}{ 2}\cdot n\nl d=\frac{\frac{2s_n}{n}-2a_1}{n-1}$

lotoska · 05. 09. 2012 17:07

↑ jarrro:

a to d, by šlo vypočítat.
$a_{12}=a_{1}+(12-1)d$
35=2+11d
d=3

jarrro · 05. 09. 2012 17:15 — Editoval jarrro (05. 09. 2012 17:27)

↑ lotoska:musíš si uvedomiť čo poznáš (aj keď len symbolicky) a čo hľadáš
zadané máš $s_n, a_1, n$ teda musíš vyjadriť d v závislosti na tých známych veciach ja som to už urobil
↑ tu: a potom už podľa vzťahu
$a_n=a_1+$n-1$d$ môžeš určiť $a_{12}$
alebo môžeš najprv určiť $a_{12}$ zo vzťahu $a_n=\frac{2s_n}{n}-a_1$
a potom určiť d ako $d=\frac{a_n-a_1}{n-1}$ to je už na tebe musí to vyjsť obidvomi spôsobmi rovnako