Matematické Fórum

drabi · 06. 09. 2012 19:24

Ahoj,
chtěla bych se zeptat, zda dobře počítám následující příklad. Nemám totiž k tomu výsledky a nevím, jak si to ověřit. Samozřejmě budu ráda za jakékoliv připomínky a podněty.

Mám vypočíst supremum a infimum dané funkce v dané množině:

$f(x,y,z) = 10z + x - y, M=\{\[x,y,z\] \in \mathbb{R}^3; x^2+y^2+z^2 \le 1, x + y \ge 0\}$

platí:
$0 \le x^2+y^2+z^2 \le 1\\ \Rightarrow 0 \le x^2 \le 1 \vee 0 \le y^2 \le 1 \vee 0 \le z^2 \le 1\\ \Rightarrow 2 \ge x+y \ge 0$
a vzory
$[0,1], [0,2]$ jsou uzavřené, tedy $M$ je kompaktní a fce $f$ nabývá na $M$ svého maxima a minima

$M°=\{\[x,y,z\] \in \mathbb{R}^3; x^2+y^2+z^2 < 1, x + y > 0\}$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 1, \frac{\partial f}{\partial y} = -1, \frac{\partial f}{\partial z} = 10$
$f$ na $M°$ nemá stacionární bod

$\partial M=\{\[x,y,z\] \in \mathbb{R}^3; x^2+y^2+z^2 - 1 = 0, x + y = 0\}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1, \frac{\partial f}{\partial y} = -1, \frac{\partial f}{\partial z} = 10$
$g_1(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 - 1 , g_2(x,y,z) = x+y$
$\text{grad}(g_1) = (2x,2y,2z) = (0,0,0) \Leftrightarrow (x,y,z) = (0,0,0) \notin \partial M$
$\text{grad}(g_2) = (1,1,0) \not= (0,0,0)$

$\exists \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}: L(x,y,z) = f(x,y,z) + \lambda_1 g_1(x,y,z) + \lambda_2 g_2(x,y,z)$ má na $\partial M$ max a min
$\frac{\partial L}{\partial x} = 1 + 2\lambda_1x + \lambda_2, \frac{\partial L}{\partial y} = -1 + 2\lambda_1 y + \lambda_2, \frac{\partial L}{\partial z} = 10 + 2 \lambda_1 z$
zde se vyřeší 5 rovnic o 5 neznámých
tedy podezřelé body jsou
$A\[\frac{1}{\sqrt{102}}, -\frac{1}{\sqrt{102}}, 5\sqrt{\frac{2}{51}}\], B\[-\frac{1}{\sqrt{102}},\frac{1}{\sqrt{102}}, -5\sqrt{\frac{2}{51}}\]$

$f(A) = \frac{50\sqrt{4} + 2}{\sqrt{102}}$ supremum
$f(B) = -\frac{50\sqrt{4} + 2}{\sqrt{102}}$ infimum

$A,B \in M$ , $f(A)$ max, $f(B)$ min

Jde mi o to zda postupuji správně a zda dobře interpretuju výsledek. Díky moc

Rumburak

↑ drabi:
Ahoj.

Tu množinu $\partial M$ jsi neurčila dobře - není to

(1) $\{\[x,y,z\] \in \mathbb{R}^3; x^2+y^2+z^2 - 1 = 0, x + y = 0\}$ ,

ale je to

(2) $\{\[x,y,z\] \in \mathbb{R}^3; (x^2+y^2+z^2 = 1 \wedge x + y \ge 0) \vee (x^2+y^2+z^2 \le 1 \wedge x + y = 0)\}$

Až do této chyby to máš správně (viz též princip maxima resp. minima pro harmonické funkce, pokud jste to už probírali) .

Množina (1) (průnik roviny a sféry) je částí množiny (2) a Tebou provedená metoda LM se také uplatní, ale správnost provedení
tohoto kroku jsem zatím nekontroloval.

EDIT. Možná bych též zauvažoval o převední úlohy do jiné soustavy souřadnic:
otočením - aby nerovnice poloprostoru obsahovala jen jednu proměnnou, např. $\xi \ge 0$ ,
případně odtud ještě sférické nebo cylindrické souřadnice.

drabi · 07. 09. 2012 11:24

↑ Rumburak:
Ahoj, díky za reakci. Já si právě nejsem úplně jistá, jak se to má počítat, takže to dávám dohromady ze svých starých příkladů apod.
Včera jsem se pak večer koukala na teorii a máme teda dvě věty o LM.
Ta co používám je pouze o stacionárních bodech, ta druhá pak využívá kvadratické normy a z toho určuje, zda bod je maximum nebo minimum.
A jako kvadratická norma se používá diferenciál 2.stupně, což je kv.forma s Hessovou maticí. Ale tady mi není úplně jasné, jak to použít.
Mohl bys mi s tím prosím pomoct, aby to řešení bylo korektní.
Pan profesor je na to dost háklivý a já pak nechci zbytečně přijít o body, že nebudu mít jednotlivé kroky ošetřeny. Díky moc

Rumburak

↑ drabi:
Snažil bych se na to jít nějak "chytře", aby s tím nebylo zbytečně mnoho nepříjemné práce. Zkusím následující postup.

Položme $x + y\,\mathrm{i}= $\cos \frac{\pi}{4} + \mathrm{i} \sin \frac{\pi}{4}$(\xi + \eta\,\mathrm{i})$ , takže bod $[x , y]$ je obrazem bodu $[\xi , \eta ]$ při otočení o $\frac{\pi}{4}$ okolo počátku.
Odtud

$x = \frac{\xi - \eta}{\sqrt{2}}, y = \frac{\xi + \eta}{\sqrt{2}}$ , zpětně $\xi = \frac{x + y}{\sqrt{2}}, \eta = -\frac{x - y}{\sqrt{2}}$ .

Převeďme touto substitucí úlohu do soustavy $P\xi \eta z$ . Máme tedy vypočíst supremum a infimum dané funkce v dané množině:

$g(\xi,\eta,z) = 10z - \sqrt{2}\,\eta , N=\{\[\xi,\eta,z\] \in \mathbb{R}^3; \,\xi^2+\eta^2+z^2 \le 1, \xi \ge 0\}$ ,

jak snadno zjistíme. Pozoruhodné je, že funkce $g$ je konstantní vzhledem k proměnné $\xi$ , což úlohu zjednodušuje, takže ji lze převést
na úlohu ve dvou proměnných:

Najděte supremum a infimum dané funkce na dané množině:

$h(\eta,z) = 10z - \sqrt{2}\,\eta , K=\{\[\eta,z\] \in \mathbb{R}^2; \,\eta^2+z^2 \le 1 \}$ .

Pokud by nás pak ještě zajímaly i body množiny M, v nichž je dosaženo abs. extrémů původní funkce f , nemělo by to být už obtížné.

PS. Tak nezbývá než doufat, že tam někde nemám chybu :-) .

EDIT.

Ještě k té větě o Hessově determinantu: Jejím použitím lze (často) rozhodnout, zda v daném stac. bodě je lokální extrém a jakého druhu.
Ale pokud hledáme absolutní extrémy spojité funkce na komp. množině a máme už zjištěny všechny "podezřelé" body, pak tuto větu
nepotřebujeme - požadovaný výsledek získáme porovnáním funkčních hodnot v těchto bodech. (Ve svých zápisech přednášky prof. Lukeše
mám u této věty poznámku "je to věta na nic" - patrně jsem tehdy zaznamenal sdělený názor přednášejícího :-) ).

drabi · 08. 09. 2012 17:18

↑ Rumburak:
Ahoj, děkuji za rozsáhlou reakci:) Musím říct, že, co si pamatuju, tak jsme moc v tomto typu příkladů nesubstituovali, tak na to trochu koukám. Ale ten příklad jsem hledala a u kolegy jsem ho našla vypočtený stejně, jako to mám já.
Jen by mě ještě zajímalo, jak je to s tou hranicí a vnitřkem. Spíš jsem tam použila špatné označení a měla jsem tu množinu $\partial M=\{\[x,y,z\] \in \mathbb{R}^3; x^2+y^2+z^2 - 1 = 0, x + y = 0\}$ nazvat třeba $P$ a už by to pak bylo korektní, nemám pravdu?

drabi · 08. 09. 2012 19:57 — Editoval drabi (08. 09. 2012 19:59)

↑ Rumburak:
Tak ještě se vracím k tomu hessiánu, zjistila jsem, že se to využívá při hledání lokálních extrémů:
např.
mám vypočíst lokální extrémy funkce $f(x,y) = x^4 + y^4 - x^2 -2xy - y^2$
$\frac{\partial f}{\partil x} = 4x^3 - 2x - 2y$
$\frac{\partial f}{\partil y} = 4y^3 - 2y - 2x$
stacionární body jsou $\[0,0\]; \[1,1\]; \[-1,-1\]$
pokud bych chtěla určit max/min na základě funkční hodnoty v daném bodě, pak
$f(0,0) = 0$ MAX
$f(1,1) = -2$ MIN
$f(-1,-1) = -2$ MIN
ale toto je špatně

$\begin{vmatrix} 12x^2 - 2 & -2 \\ -2 & 12x^2 - 2 \end{vmatrix}$
$\[0,0\]: \begin{vmatrix} - 2 & -2 \\ -2 & - 2 \end{vmatrix} \\ D_1 = -2; D_2 = 0$ tedy daná kvadratická forma je semidefinitní a nemůžeme určit, jestli je zda extrém nebo ne

Rumburak

↑ drabi:
Ahoj. Když tu množinu nazveš P, tak to korektní je - kteroukoíliv množinu si můžeš nazvat P :-) .
Jde o to, kterou množinu potřebuješ. Toto

$k = \{\[x,y,z\] \in \mathbb{R}^3; x^2+y^2+z^2 - 1 = 0, x + y = 0\}$

je (pokud čárka mezi výroky má znamnat jejich konjukci) průnik sféry $x^2+y^2+z^2 - 1 = 0$ s rovinou $x + y = 0$ , což je množina
(kružnice), která sice se při výpočtu nakonec uplatní, ale ve Tvém úvodním příspěvku není ještě dokázáno, že abs. extrémy stačí hledat pouze v ní,
prozatím máš dokázáno pouze to, že jich funkce nabývá jen v $\partial M$ , což je množina (2) z příspěvku ↑ Rumburak: .
Aby byl Tvůj postup kompletní, měla bys ještě zkusit hledat extrémy na zbytku $\partial M$ , tj. i mimo kružnici $k$ (a případně ukázat, že tam nejsou).

Je to celkem dosti práce (ještě 2x použít metodu LM) , proto jsem navhoval tu substituci, která úlohu zjednoduší. Připomeňme si stručně onu její
třetí variantu z mého příspěvku :

$h(\eta,z) = 10z - \sqrt{2}\,\eta , K=\{\[\eta,z\] \in \mathbb{R}^2; \,\eta^2+z^2 \le 1 \}$ .

Obdobně jako v Tvém postupu i zde se ukáže, že abs. extrémy nutno hledat na $\partial K$ . Dále máš na výběr ze tří možností:

I. Metodu LM s jednou vazbou.

II. Vyjádřit kružnici $\partial K$ parametrickými rovnicemi

(a) $\eta = \cos t , z = \sin t , t \in \mathbb{R}$

(starat se o bijektivnost parametrického vyjádření nemusíme, protože ji zde nepotřebujeme) a pak hledat extrémy funkce

(b) $F(t) = 10\,z(t) - \sqrt{2}\,\eta(t) = 10\,\sin t - \sqrt{2}\,\cos t$

(už bez vazby). Jde o funkci všude hladkou, takže nutnou podmínkou pro její extrém v bodě $t$ je $F'(t)=0$ , tedy dle (b)

$10\,\cos t + \sqrt{2}\,\sin t = 0$ ,

což dle (a) je $10\,\eta + \sqrt{2}\,z = 0$ . K tomu přidáme rovnici $\eta^2+z^2 = 1$ kružnice $\partial K$ a máme soustavu dvou dovnic o dvou neznámých.

III. Uvažujme $w \in \mathbb{R}$ , přímku $p_w$ o rovnici $10z - \sqrt{2}\,\eta = w$ (tj. $h(\eta,z) =w$ ) a ptejme se, pro která $w$ má přímka $p_w$
neprázdný průnik s kružnicí $\partial K$ . Úloha vede na kvadratickou rovnici s parametrem $w$ , podmínka na nezápornost jejího diskriminantu
dá omezující podmínku na parametr $w$ .

drabi · 10. 09. 2012 12:48 — Editoval drabi (10. 09. 2012 13:04)

↑ Rumburak:
Ahoj, děkuji za reakci a za to, jak podrobně jsi popsal to řešení.
Je i to teď jasné, co si tím myslel, ale bohužel se musím přiznat, že bych to sama nevymyslela :(
A rozhodně bych to nevymyslela na zkoušce, kde bývám dost nervózní.
Mohla bych se pro to zeptat, jak jsi myslel to, že bych použila dvakrát LM metodu?
Jako že bych počítala stacionární body z:
$L_1(x,y,z) = f(x,y,z) + \lambda(x^2+y^2+z^2 - 1), x+y \ge 0$
$L_2(x,y,z) = f(x,y,z) + \lambda(x+y), x^2+y^2+z^2 \le1$
pak bych vypočetla stacionární body z:
$L(x,y,z) = f(x,y,z) + \lambda_1 g_1(x,y,z) + \lambda_2 g_2(x,y,z)$

a nakonec porovnala funkční hodnoty?
vím, že je to o dost pracnější, než tvé elegantní řešení:), ale jak říkám, bohužel to asi nezvládnu vymyslet

EDIT:
tak jsem to počítala a pro
$L_1(x,y,z) = f(x,y,z) + \lambda(x^2+y^2+z^2 - 1), x+y \ge 0$ mi vyšly stejné stacionární body
jako pro $L(x,y,z) = f(x,y,z) + \lambda_1 g_1(x,y,z) + \lambda_2 g_2(x,y,z)$
a pro
$L_2(x,y,z) = f(x,y,z) + \lambda(x+y), x^2+y^2+z^2 \le1$ mi nevyšly žádné

Rumburak

↑ drabi:

Mohla bych se pro to zeptat, jak jsi myslel to, že bych použila dvakrát LM metodu?

Přesně tak, jak dále uvádíš. To, že zde už případ $L(x,y,z) = f(x,y,z) + \lambda_1 g_1(x,y,z) + \lambda_2 g_2(x,y,z)$
dává všechny pozitivní výsledky, je pouze vlasnost této konkretní úlohy.

OK. Nyní je to komplet.

drabi · 10. 09. 2012 16:00

↑ Rumburak:
super, děkuji mockrát:)

Matematické Fórum

#1 06. 09. 2012 19:24

extrémy funkce více proměnných

#2 07. 09. 2012 10:10 — Editoval Rumburak (07. 09. 2012 11:02)

Re: extrémy funkce více proměnných

#3 07. 09. 2012 11:24

Re: extrémy funkce více proměnných

#4 07. 09. 2012 16:33 — Editoval Rumburak (08. 09. 2012 14:05)

Re: extrémy funkce více proměnných

#5 08. 09. 2012 17:18

Re: extrémy funkce více proměnných

#6 08. 09. 2012 19:57 — Editoval drabi (08. 09. 2012 19:59)

Re: extrémy funkce více proměnných

#7 10. 09. 2012 10:16 — Editoval Rumburak (10. 09. 2012 12:01)

Re: extrémy funkce více proměnných

#8 10. 09. 2012 12:48 — Editoval drabi (10. 09. 2012 13:04)

Re: extrémy funkce více proměnných

#9 10. 09. 2012 15:49 — Editoval Rumburak (10. 09. 2012 15:50)

Re: extrémy funkce více proměnných

#10 10. 09. 2012 16:00

Re: extrémy funkce více proměnných

Zápatí