Matematické Fórum

Lanna · 07. 09. 2012 16:14

Dobrý den. Včera jsme měli první hodinu matematiky na téma komplexní čísla a nevím si vůbec rady s domácím úkolem. Bylo nám vysvětleno, co je to reálná a imaginární část komplexního čísla. Imaginární jednotka a algebraický tvar. Nebyl ale žádný ukázkový příklad a proto se obracím k Vám.

Příklad:

Ověřte, zda čísla $-2\mp i\sqrt{2}$ jsou kořeny rovnice $x^{2}+4x+6=0$ .

Děkuji za jakoukoliv odpověď.

Geronimo

Staci jeden z korenu dosadit do rovnice a zjistit, jestli vychazi 0.

Komplexni koren ma tu peknou vlastnost, ze je-li $z \in \mathbb{C}$ resenim polynomu, pak i cislo komplexne sdruzene je resenim. Proto staci zkusit jenom jeden koren.

$(-2-i\sqrt2)^2$ rozepises pomoci vzorce $(a-b)^2$ .
Dale plati, ze $i^2=-1$ .

Dale by to melo byt jen dosazeni a scitani realnych a komplexnich slozek.

Lanna · 07. 09. 2012 17:15

↑ Geronimo:

řekla bych, že jsem to vůbec nezpochopila vzhledem ktomu, co jsem psala nahoru. My jsme opravdu jenom v úvodu a hned jsme dostali tohle :(

Vůbec se v tom neorientuju. Ale možná tuším. Prostě si řeknu, že $-2+i\sqrt{2}$ znamená, že reálná část čísla je -2 a imaginární je $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ ?

Pak musím každé zlášť to číslo dosadit za x a co mi má vyjít? Uvažuji správně?

houbar · 07. 09. 2012 17:37

Když to nechápeš, zkus vyřešit tu rovnici nahoře přes diskriminant

$\sqrt{-a} = i\sqrt{a}$

Hanis · 07. 09. 2012 17:38

↑ Geronimo:

Ahoj :-)
já bych jenom upřesnil, že vlastnost, kterou jmenuješ, platí pouze, má-li kv. trojčlen reálné koeficienty.
PS: našel jsem si tě v ISu, jsme teď prakticky spolužáci :-)

houbar · 07. 09. 2012 17:40

A když to dosazuješ, dosadíš to všechno, i s komplexní jednotkou. Ono to i je akorát odmocnina z -1, nic jiného v tom není. Počítej s tím jako s jakoukoliv jinou neznámou s tím, že
$i^{2}=1$
$i^{3}=-i$
$i^{4}=1$

Lanna · 07. 09. 2012 17:46

↑ houbar:

Ale ta rovnice přece přes D vyřešit nejde, protože mi výjde záporný.

houbar · 07. 09. 2012 17:52

↑ Lanna:Jde. V komplexních číslech umíme udělat odmocninu ze záporného čísla, což byl jediný problém, proč jsme tyto rovnice neřešili dříve.

Dejme tomu (pro příklad) že mám $D=-z$ (z je jakékoliv kladné číslo, -z je tedy záporné)

Potom:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

což po dosazení

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{-z}}{2a}$

dá

$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{z}}{2a}$

houbar · 07. 09. 2012 17:57

Tady to nějak řeším:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Lanna · 07. 09. 2012 18:05

↑ houbar:

Dobrá tedy. Poslední komentář jsem pochopila. Vyšlo mi tedy snad správně, že $x_{1,2}=(-4\pm \sqrt{8})/2$ . Ale co s tím mám teď dělat dál? Vytknu čtyřku, zkrátím a výjde mi to, co bylo v zadání. Tedy $-2+i\sqrt{2}$ . A to je kontrola, že to mám správně?

Děkuji moc, snad jsem to už teď pochopila a další příklady zvládnu bez problému :)

houbar · 07. 09. 2012 18:06

↑ Lanna:
Jo. Vyšlo ti to, co ti dali v zadání ověřit $\Leftrightarrow$ máš to správně ;-)

Matematické Fórum

#1 07. 09. 2012 16:14

Komplexní čísla, rovnice

#2 07. 09. 2012 17:07 — Editoval Geronimo (07. 09. 2012 17:08)

Re: Komplexní čísla, rovnice

#3 07. 09. 2012 17:15

Re: Komplexní čísla, rovnice

#4 07. 09. 2012 17:37

Re: Komplexní čísla, rovnice

#5 07. 09. 2012 17:38

Re: Komplexní čísla, rovnice

#6 07. 09. 2012 17:40

Re: Komplexní čísla, rovnice

#7 07. 09. 2012 17:46

Re: Komplexní čísla, rovnice

#8 07. 09. 2012 17:52

Re: Komplexní čísla, rovnice

#9 07. 09. 2012 17:57

Re: Komplexní čísla, rovnice

#10 07. 09. 2012 18:05

Re: Komplexní čísla, rovnice

#11 07. 09. 2012 18:06

Re: Komplexní čísla, rovnice

Zápatí