Matematické Fórum

fffghj · 08. 09. 2012 17:06

Jak rozhodnout, zda existuje nebo neexistuje?

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}xy^{2}cos(\frac{1}{xy^{2}})$

Dosadit tam přímo nelze. Zkusím tedy převést do polárních souřadnic nebo se např. mohu zkusit přibližovat po nějaké úsečce, parabole apod.

Tak zkusím převést do polárních souřadnic:

$\lim_{r\to0}r^{3}cos(\varphi )sin^{2}(\varphi)cos(\frac{1}{r^{3}cos(\varphi)sin^{2}(\varphi)})$

Nejraději bych se zbavil jmenovatele, abych do něho mohl dosadit nebo nějak "vykrátit", ale nevím jak. Popoušťouchnete mě někdo, prosím?

teolog · 08. 09. 2012 17:31 — Editoval teolog (08. 09. 2012 17:37)

↑ fffghj:
Zdravím,
možná bych sem nic psát neměl, protože limity funkcí dvou proměnných jsem nikdy neřešil.
Ale selským rozumem se mi zdá, že hodnota kosinu bude stále mezi 1 a -1 a ten součin před kosinem půjde k nule, takže to celé bude nula, řekl bych.

Ale radši si počkejte na komentář někoho zkušenějšího.

fffghj · 08. 09. 2012 17:46 — Editoval fffghj (08. 09. 2012 17:54)

↑ teolog:

S limitama si nějak nevím rady. :(

Našel jsem v knížce, že existuje věta, která nám říká, co dělat se součinem limit (ale platí teda jen pro limity 1 neznámé). Jenže ta věta platí za předpokladu, že obě dvě ty funkce, které násobíme, mají limitu. Tudíž se nedá uplatnit tato úvaha, protože funkce cos(1/xy^2) nemá limitu pro x a y jdoucí k nule. Nebo tu větu chápu špatně, nebo je použita jiná?

Oxyd · 08. 09. 2012 19:33

Já souhlasím s ↑ teolog:. $\cos \frac{1}{xy^2}$ sice nemá limitu, ale je celý omezený jedničkou. Protože xy^2 jde k nule, tak to celé musí jít k nule. Dá se to dokázat přímo z definice limity, s využitím toho, že xy^2 jde k nule.

fffghj · 08. 09. 2012 19:50

↑ Oxyd:

Vůbec nanaštěstí nerozumím tomu postupu. Využíváš tedy jaké věty? Nebo jak jsi k tomu myšlenkově došel, že ten důkaz platí?

Proč mi tam stačí to, že funkce cosinus je omezená? (Bohužel vůbec neznám věty pro práci s limitama pro dvě proměnné, ale věta o limitě součinu pro jednu proměnou má v předpokladě, že musí existovat limita obou funkcí).

Oxyd · 08. 09. 2012 20:03 — Editoval Oxyd (08. 09. 2012 20:05)

Nikoliv větu o součinu limit, ale větu o součinu funkce jdoucí k nule s omezenou funkcí. Pro více proměnných to funguje stejně dobře jako pro jednu.

Pokud se shodnem na tom, že $\lim_{(x, y) \to \vec{0}} xy^2 = 0$ , tak se celá limita dá dokázat takhle: Je dáno $\varepsilon > 0$ . Z toho, že $xy^2 \to 0$ dostanu $\delta$ , že $(x, y) \in P(\vec{0}, \delta) \implies \left|xy^2\right| < \varepsilon$ , kde $P(\vec{0}, \delta)$ je prstencové delta-okolí počátku. No a co se na tomhle okolí děje s celou funkcí? Platí $(x, y) \in P(\vec{0}, \delta) \implies |f(x) - 0| = \left|xy^2 \cos\frac{1}{xy^2}\right| = \underbrace{\left|xy^2\right|}_{< \varepsilon} \cdot \underbrace{\left|\cos\frac{1}{xy^2}\right|}_{\le 1} < \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon$ , tedy pro libovolné $\varepsilon > 0$ mám $\delta > 0$ , že $(x, y) \in P(\vec{0}, \delta) \implies |f(x) - 0| < \varepsilon$ , tedy $\lim_{(x, y) \to \vec{0}} f(x, y) = 0$ .