Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1

 

#1 08. 09. 2012 17:21

fffghj
Příspěvky: 48
Reputace:   0 
 

Další limita

Opět limita a její vyčíslení:

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}xyln(x^{2}+y^{2})$

Opět asi bude nutný převod do polárních souřadnic:

$\lim_{r\to0}2r^{2}sin(\varphi )cos(\varphi )ln(r)$

Opět prosím o malé popoušťouchnutí.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) fffghj)

#2 08. 09. 2012 19:20

Bati
Příspěvky: 2467
Reputace:   192 
 

Re: Další limita

Pozor na to, že r jde k nule zprava.

Platí:
$\lim_{x\to 0^+}{x\ln x}=0$
Pomůže?

Offline

 

#3 08. 09. 2012 19:39 — Editoval fffghj (08. 09. 2012 19:40)

fffghj
Příspěvky: 48
Reputace:   0 
 

Re: Další limita

↑ Bati:

Jj, pomohlo. Bezva. Ještě - je tato limita tak určena k zapamatování, pokud se toto dělá na cvičeních z matalýzy? Pokud by se něco takového dělalo, pravděpodobně by nám cvičící tento údaj sdělil? A pokud ne, asi bych měl pátrat někde v tabulkách? (V jakých? Bohužel se v tomto vůbec nevyznám.)


Postup je (snad):
Rozdělil jsem limitu na součin dvou limit (podle věty o součinu limit), což jsem mohl udělat, protože $\lim_{r\to0+}sin(\varphi )cos(\varphi )$ existuje (a je rovna $sin(\varphi )cos(\varphi )$) A pak už to bylo $0$ krát $sin(\varphi )cos(\varphi )$ což je $0$.

Proč je tam důležité to, že jde zprava? (Zleva to nejde?)

Děkuji za pomoc.

Offline

 

#4 08. 09. 2012 19:58 — Editoval Bati (08. 09. 2012 20:00)

Bati
Příspěvky: 2467
Reputace:   192 
 

Re: Další limita

Limitu $\lim_{x\to 0^+}{x\ln x}=0$ se určitě vyplatí pamatovat, jinak se dá snadno odvodit pomocí l'Hospitalova pravidla takto: $\lim_{x\to 0^+}{x\ln x}=0=\lim_{x\to 0^+}{\frac{\ln x}{\frac1{x}}}=\ldots=0$

Postup je ok, jen je důležité zmínit, že $|\sin{\varphi }\cos{\varphi }|<\infty$

To, že r jde do nuly zprava je důležité ze 2 důvodů:
1) r se vyskytuje v logaritmu, který je definovaný jen pro kladná čísla
2) r prostě musí jít do nuly zprava, neboť $r=\sqrt{x^2+y^2}\geq0\quad\forall x,y\in\mathbb{R}$, jinými slovy je to nějaká velikost.

Offline

 

#5 08. 09. 2012 23:09

fffghj
Příspěvky: 48
Reputace:   0 
 

Re: Další limita

Supr, díky.

Offline

 

 

Stránky: 1

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson