Matematické Fórum

Keeeeke · 09. 09. 2012 08:01

Cus,
mám zadanou nerovnici, pokusil jsem se jí vyřešit (snad správně), ale přijde mi to hrozně krkolomne, nemate lepsi (jednodussu, kratsi) napad?

$\log_{\frac{1}{2}}(2x+1)+\log_{2}(x+2)> \log_{\frac{1}{2}}(\frac{2-x}{3-x})$
$\log_{\frac{1}{2}}(2x+1)-\log_{\frac{1}{2}}(\frac{2-x}{3-x})+\log_{2}(x+2)> 0$
$\log_{\frac{1}{2}}\frac{(2x+1)(3-x)}{2-x}+\log_{2}(x+2)> 0$
$\log_{\frac{1}{2}}\frac{(2x+1)(3-x)}{2-x}+\frac{\log_{\frac{1}{2}}x+2}{\log_{\frac{1}{2}}2}> 0$
$\frac{(2x+1)(3-x)}{2-x}+\frac{x+2}{2}>1$
$2\frac{(2x+1)(3-x)}{2-x}+x>0$
$\frac{-5x^2+12x+6}{2-x}>0$

poté nulové body a tabulka

$x_{1}=\frac{1}{5}(6-\sqrt{66})$
$x_{2}=\frac{1}{5}(6+\sqrt{66})$
$x_3=2$ není definováno

Řešení $x\in (\frac{1}{5}(6+\sqrt{66});2)\cup (\frac{1}{5}(6-\sqrt{66});\infty )$

Díky

zdenek1 · 09. 09. 2012 09:03

↑ Keeeeke:
Několik poznámek:
a) máš spatně přechod ze 4. na 5. řádek, protože $\frac{\log_{\frac12}(x+2)}{\log_{\frac12}2}=-\log_{\frac12}(x+2)$ a také musíš vytvořit na levé straně jen jeden logaritmus

tím pádem je celý zbytek výpočtu na nic.

b) máš stejně špatně zapsaný výsledek, protože tvoje $x_2>x_1$ , takže by to mělo být
$x\in(x_1;2)\cup(x_2;\infty)$

c) neudělal jsi podmínky pro logaritmy
$x\in(-\frac12;2)\cup(3;\infty)$

jinak postup je obecně správně a o moc víc se se to zjednodušit nedá. Dalo by se např. udělat nejdřív změna základu a teprve potom úpravy
$\log_{\frac{1}{2}}(2x+1)+\log_{2}(x+2)> \log_{\frac{1}{2}}(\frac{2-x}{3-x})$
$\log_{\frac12}(2x+1)-\log_{\frac12}(x+2)>\log_{\frac{1}{2}}(\frac{2-x}{3-x})$
$\log_{\frac12}\frac{(2x+1)}{(x+2)}>\log_{\frac{1}{2}}(\frac{2-x}{3-x})$
$\frac{2x+1}{x+2}<\frac{2-x}{3-x}$
atd.