Matematické Fórum

M0M0 · 09. 09. 2012 13:59

Zdraec, s tymto neviem pohnut:

Bod sa pohybuje po osi x tak, že závislosť jeho súradnice od času je daná rovnicou
x = k/2
$x = k/2(\mathrm{e}^{\gamma t}+\mathrm{e}^{-\gamma t})$

kde k, gamma sú známe konštanty
. Nájdite rýchlosť a zrýchlenie bodu ako funkciu x .

Rychlost je derivacia vektora v case...Takze by som to nejak zderivoval, lenze vychadzaju mi tam cudesne veci. VIe niekto pomoct?

zdenek1 · 09. 09. 2012 15:35

↑ M0M0:
$x=\frac{k}{2}(\mathrm{e}^{\gamma t}+\mathrm{e}^{-\gamma t})$
$v=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=\frac{k}{2}(\gamma \mathrm{e}^{\gamma t}-\gamma \mathrm{e}^{-\gamma t})=\frac{k\gamma}{2}(\mathrm{e}^{\gamma t}-\mathrm{e}^{-\gamma t})$
$a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}=\frac{k\gamma }{2}(\gamma \mathrm{e}^{\gamma t}+\gamma \mathrm{e}^{-\gamma t})=\gamma ^2x$

takže až sem nic "cudesneho"

Ale nemáme rychlost jako správnou fci.
Aby se mi to lépe psalo, označím $\mathrm{e}^{\gamma t}=u$
Je tedy
$x=\frac{k}{2}\left(u+\frac1u\right)$ a $v=\frac{k\gamma }{2}\left(u-\frac1u\right)$
dále
$x^2=\frac{k^2 }{4}\frac{(u^2+1)^2}{u^2}$
$v^2=\frac{k^2\gamma^2 }{4}\frac{(u^2-1)^2}{u^2}$

$\frac{4x^2u^2}{k^2}=u^4+2u^2+1$
$\frac{4v^2u^2}{k^2\gamma ^2}=u^4-2u^2+1$

a teď to odečteš
$\frac{x^2}{k^2}-\frac{v^2}{k^2\gamma ^2}=1$
A z toho snad už $v$ vypočítáš.

Matematické Fórum

#1 09. 09. 2012 13:59

Kinematika

#2 09. 09. 2012 15:35

Re: Kinematika

Zápatí