Matematické Fórum

drabi · 10. 09. 2012 13:24

Ahoj, mám další příklad, který mi přijde trochu neobvyklý a nemohu najít nějaký návod nebo nápovědu, jestli počítám dobře.
$f(x,y) = x^2 - xy + y^2$ na $M = \{[x,y] \in \mathbb{R}^2; |x| + |y| \le 1\}$
M je omezená a uzavřená, f spojitá, pak f nabývá na M extrémů
$f_x = 2x-y = 0$
$f_y = -x+2y = 0$
$A[0,0]$
další podezřelé body dostanu když použiju LM, z těch absolutních hodnot jde vidět, že se v těchto bodech budou střídat znaménka, takže mi vyšlo:
$B\[\frac12,\frac12\], C\[-\frac12,\frac12\], D\[\frac12,-\frac12\], E\[-\frac12,-\frac12\]$

a porovnám funkční hodnoty:
$f(A) = 0$ min
$f(B) = \frac14$ není extrém
$f(C) = \frac34$ max
$f(D) = \frac34$ max
$f(E) = \frac14$ není extrém

je to tak dobře, nebo mám někde chybu? díky :)

Rumburak

Ahoj.

Předpokládám, že nás opět zajímají absolutní extrémy.

I. Opět můžeme hranici řešit bez LM. Rozeberu třeba případ úsešky $y = x + 1, x \in \langle -1, 0 \rangle$ , což je ta část hranice naší množiny,
která spadá do II. kvadrantu.

Dosadím do předpisu pro funkci $f$ a dostanu:

$g(x) = f(x, x+1) = x^2 - x(x+1) + (x+1)^2 = x^2 + x + 1$ , $g'(x) = 2x +1$ ,

z $g'(x) = 0$ plyne $x = -\frac {1}{2}, y = \frac {1}{2}$ , což je Tvůj bod $C$ .

II. K závěrečnému rozhodnutí o extrémech je potřeba brát v úvahu i vrcholy čtverce tvořícího hranici (obecně body, v nichž hraniční křivka
není hladká a krajní body jednotlivých částí) . Společnou hodnotou v těchto bodech je 1 , což Tvými závěry poněkud otřese :-) .

drabi · 10. 09. 2012 17:39

↑ Rumburak:
díky,
takže bych měla vyšetřovat i body
$[1,0], [-1,0], [0,1], [0,-1]$
což teda budou maxima

Matematické Fórum

#1 10. 09. 2012 13:24

vázané extrémy

#2 10. 09. 2012 17:18 — Editoval Rumburak (10. 09. 2012 17:19)

Re: vázané extrémy

#3 10. 09. 2012 17:39

Re: vázané extrémy

Zápatí