Matematické Fórum

m4tQ · 11. 09. 2012 14:26

Ahojte, zrovna preberáme opakovanie. Všetkému rozumiem, len som došiel na rozvoj binomickej vety, kde sú použité combinačné čisla.
pr.(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}
a vieme, že to je rovnaké ako štvrtý rad v pascalovom trojuholníku, tie combinačné čísla. No a ja sa pýtam ako je to možné. Možno to znie úplne banálne, lenže mňa zaujíma prečo to tak sedí, že keď sčítam čísla pod sebou v Pascalovom trojuholníku, tak mi výjde dalšie kombinačné číslo v binomickej vete.

marnes · 11. 09. 2012 14:38

Pro kombinační čísla platí

${{n}\choose{k}}+{{n}\choose{k+1}}={{n+1}\choose{k+1}}$

což vlastně odpovídá součtu dvou kombinačních čísel v daném řádku PT a výsledné hodnotě v řádku dalším

nejsem_tonda

↑ m4tQ:

Ahoj,
ono $(a+b)^3$ neni nic jineho nez $(a+b)(a+b)(a+b)$ . Koeficient pred $a^2b$ vznika tak, ze z jedne zavorky vybereme becko a ze zbyvajich dvou zavorek vezmeme acko. Koeficient je tedy presne roven poctu posloupnosti delky tri, v nichz kazdy clen je bud acko nebo becko a pritom je becko obsazeno prave jednou (jsou tedy tvaru $baa$ , $aba$ , $aab$ ). Jeste jinymi slovy si ze tri pozic vybiram jednu pozici, kde umistim becko (a na ostatni pozice umistim acko). Proto je koeficient
$3\choose1$

Pokud me vysvetleni neni srozumitelne, da se jeste zkusit jine vysvetleni.

------------ pod carou -------------

Da se zvolit i pristup zalozeny na indukcnim principu. Nastinim jen velice zhruba. Pokud uz vime, ze koeficienty $(a+b)^n$ odpovidaji prislusnemu radku Pascalova trojuhelniku, pak si lze rozmyslet, ze koeficienty $(a+b)^{n+1}=(a+b)^n(a+b)$ budou odpovidat nasledujicimu radku Pascalova trojuhelniku prave diky vztahu, ktery uvadi marnes.

peter_2+2

↑ m4tQ:
Co se týče tvé otázky asi ti úplně neporadím ale sleduj toto, dřív se tomu říkávalo figurate numbers.
1 1 1 1 1 1 1 1 A teď tyto jedničky budu podtím postupně sčítat (například 3=1+1+1)
1 2 3 4 5 6 7 8 A podtím zase budu sčítat tento následující řádek(např. 10=1+2+3+4)
1 3 6 10 15 21 28 36 A zase...
1 4 10 20 35 56 84 120
1 5 15 35 70 126 210 330

Samozřejmě pro poslední řádek například číslo 35 není třeba počítat nutně 35=1+4+10+20, ale dá se použít součet nalevo od 35tky což je 15 a poté sečíst číslo, které zbývá 15+20=35

No a teď když otočíš hlavu doleva o 45° tak zjistíš, že to je pascalův trojůhelník. Čímž se sice vysvětlí, proč součet dvou horních čísel v pascalově trojúhelníku dá číslo spodní, zároveň na tom jde ukázat daleko víc pravidel, které v sobě pascalův trojúhelník má, ale vyvstane ti zároveň daleko víc dalších otázek :).

peter_2+2

↑ nejsem_tonda:
Jak jsi tam napsal:
"jsou tedy tvaru $baa$ , $aba$ , $aab$ Jeste jinymi slovy si ze tri pozic vybiram jednu pozici, kde umistim becko (a na ostatni pozice umistim acko). Proto je koeficient $3\choose1$

Ono svým způsobem je to asi vzájemné ta dvojice "n" s "k" ale podle té kombinace by se spíš mělo říct, že se vybírají závorky do písmenek a né písmenka do závorek (protože "n" je vždycky to větší číslo, ikdyž by to teda ve skutečnosti asi mělo být jedno).

(a+b)^3 a člen a^2×b
Pro závorky umístěné do "b"čka to je $3\choose1$ .
Pro závorky umístěné do "a"čka to bude $3\choose2$ .

==============================================

Ještě je jeden zajimavější způsob je daleko líp popsanej tady Eulerem:
http://books.google.cz/books?id=X8yv0sj … mp;f=false
<-- strana 110

Ve zkratce jde o to, že například pro (a+b+c)^3, a ten nejvíc zastoupený člen a×b×c, jde o všechny transpozice písmenek a,b,c (pro tři různá písmeka jde o permutaci). Těch tam bude 3! a pak už jen stačí dojít na to, kolik těch možných transpozic písmenek bude, pokud některá z těch písmenek budou stejná (pro a,a,a bude např. jen jedna transpozice).
Například pro a,a,b budou dvě písmenka stejná, proto 3! / 2! (těch transpozic písmenek např. a,a,b bude samozřejmě stejně jak pro (a+b+c)^3 tak pro (a+b)^3).

Podobně se z toho dá odvodit i věta trinomická např. pro (a+b+c+d+e)^5 a člen a×b×c×d tam bude 5!. Pokud se to potom použije na (a+b+c)^5 a transpozice písmen a,a,b,c,c tak dvě dvojice písmenek se tam budou opakovat dvakrát("a,a" a "c,c"), takže 5! / 2! / 2!

A takto se dá odvodit i jakákoliv jiná věta. Líp to je určitě popsané v tom originále, doporučuju přečíst kdo umíte alespoň trochu anglicky.

Matematické Fórum

#1 11. 09. 2012 14:26

pascalov trojuholník - binomická veta, ich súvis

#2 11. 09. 2012 14:38

Re: pascalov trojuholník - binomická veta, ich súvis

#3 11. 09. 2012 23:50 — Editoval nejsem_tonda (12. 09. 2012 00:01)

Re: pascalov trojuholník - binomická veta, ich súvis

#4 15. 09. 2012 21:04 — Editoval peter_2+2 (20. 10. 2012 16:42)

Re: pascalov trojuholník - binomická veta, ich súvis

#5 16. 09. 2012 09:27 — Editoval peter_2+2 (16. 09. 2012 09:48)

Re: pascalov trojuholník - binomická veta, ich súvis

Zápatí