Matematické Fórum

evik · 16. 11. 2008 16:57

Vypočítejte y'' funkce y=f(x) , která je zadaná implicitně :

$x^2 + xy + y^3 = 3 \nl$

požívám vzorec $y'=-{{F'x} \over {F'y} }$ kde F'x je derivace výrazu $x^2 + xy + y^3 - 3 = 0$ podle x atd.
První derivace mi vychází takto
$y' = - {{2x+y} \over {3y^2+x} }$
Teď ale nevím co dál. Jak to derivovat podruhé?
Děkuju za radu...

Pavel Brožek

Ono je to jasné, pokud víš, jak se vlastně získal ten vzorec na první derivaci. Jak značíš $F(x,y)=x^2+xy+y^3-3$ . Máme křivku jejíž body splňují rovnici:

$F(x,y)=0$

Pokud se budeme dívat na y jako funkci x, takovou, že (x,y) splňují F(x,y)=0, pak můžeme psát

$F(x,y(x))\equiv 0$

Toto zderivujeme podle x.

$\frac{\textrm{d} F(x,y(x))}{\textrm{d} x}=0\nl \frac{\partial F(x,y(x))}{\partial x}\frac{\textrm{d} x}{\textrm{d} x}+\frac{\partial F(x,y(x))}{\partial y}\frac{\textrm{d} y(x)}{\textrm{d} x}=0\nl \frac{\partial F(x,y(x))}{\partial x}+\frac{\partial F(x,y(x))}{\partial y}y'(x)=0\nl y'(x)=-\frac{\frac{\partial F(x,y(x))}{\partial x}}{\frac{\partial F(x,y(x))}{\partial y}}$

My ale můžeme takto rovnou postupovat u rovnice $x^2+xy+y^3=3$ , zderivujeme ji podle x, přičemž y bereme jako funkci x.

$2x+y+xy'+3y^2y'=0$

Nyní ale nevyjádříme y', ale ještě jednou ji zderivujeme podle x.

$2+y'+y'+xy''+3(2yy'^2+y^2y'')=0$

Teď vyjádříme y'' a za y' dosadíme co už jsi spočítala.

evik · 17. 11. 2008 22:34

↑ BrozekP:
Ahoj, moc ti děkuju za snahu mi to tak pěkně vysvětlit, ale jaksi mi to furt nezapaluje...
nechápu jak zderivujeme $x^2+xy+y^3=3$ podle x, přičemž y bereme jako funkci x ??? Proč z toho vzniklo $2x+y+xy'+3y^2y'=0$ ?
Mohl bys mi to prosím ještě nějak víc rozepsat?

Matematické Fórum

#1 16. 11. 2008 16:57

Druhá derivace implicitně zadané funkce

#2 16. 11. 2008 18:16 — Editoval BrozekP (16. 11. 2008 18:18)

Re: Druhá derivace implicitně zadané funkce

#3 17. 11. 2008 22:34

Re: Druhá derivace implicitně zadané funkce

Zápatí