Matematické Fórum

fffghj · 09. 09. 2012 14:45

Proč tato limita neexistuje?

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}(\frac{1-cos(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})xy})^{2}$

Nabízí se převod do polárních souřadnic. Došel k tomuto tvaru:

$\lim_{r\to0+}(\frac{1-cos(r^{2})}{r^{4}cos(\varphi)sin(\varphi)})^{2}$

Ale nějak z něho neumím vyvodit to, že ta limita neexistuje. Jinými slovy nevím, jakým způsobem mám vykrátit tu proměnnou $r$ , aby bylo vidět, že výsledek limity závisí na cestě, z jaké se k tomuto bodu blížíme.

jelena · 09. 09. 2012 16:50

Zdravím,

začala bych rozšířením čitatele a jmenovatele výrazem $(1+\cos(r^{2}))$ .

fffghj · 09. 09. 2012 17:14 — Editoval fffghj (09. 09. 2012 17:15)

↑ jelena:

No :)

Udělal jsem toto:

$\frac{(1-cos(r^{2}))(1-cos^2(r^{2}))}{r^{4}(cos(\varphi)sin(\varphi)+cos^{2}(\varphi)sin(\varphi ))}$

Pak bych mohl nahradit např. $(1-cos^2(r^{2}))$ za $sin^{2}(r^{2})$

Jenže pořád to nevidím a nevím, co dál s tím. Ta myšlenka je taková, že se snažím vykrátit to $r^{4}$ ze jmenovatele? (Tím ta limita v bodě bude záviset na cestě, odkud se k tomu bodu budu blížit, tedy nebude existovat.)

Zkoušel jsem se koukat na identity zde: http://cs.wikipedia.org/wiki/Goniometrick%C3%A1_funkce ale nic z toho se mi nejeví, že by tam nějak ihned mělo pasovat a vykrátit to $r^{4}$ .

EDIT: Zapomněl jsem před to napsat $\lim_{r\to0+}$

jelena · 09. 09. 2012 17:36

↑ fffghj:

jmenovatel bych neroznásobovala jelikož limita pro $(1+\cos(r^{2}))$ bude 2.

Jinak úpravu povedu na první pozoruhodnou limitu.

Ve Tvém případě máš vyčlenit limitu pro $$\frac{\sin (r^2)}{r^2}$^2$ ,

Bati · 09. 09. 2012 19:04 — Editoval Bati (09. 09. 2012 22:37)

Zdravím,
stačí použít fakt, že $\lim_{x\to0}{\frac{1-\cos{x}}{x^2}}=\frac12$ .

jelena · 09. 09. 2012 21:10

↑ Bati:

také pozdrav a děkuji, teď nejsem si jistá, zda fakt nevyžaduje trošku úpravu (jelikož přecházíme k argumentu (x/2))? Ale je to určitě rychlejší úprava, než ta moje.

Bati · 09. 09. 2012 22:20

↑ jelena:
Nevím, proč by byla potřeba změna argumentu, když se tato známá limita použije téměř přímo hned tady: $\lim_{r\to0^+}$\frac{1-\cos{r^{2}}}{r^{4}\cos{\varphi}\sin{\varphi}}$^{2}$

Bati · 09. 09. 2012 22:37

↑ jelena:
Už to chápu, mám tam totiž chybu, ta ZNÁMÁ :) limita má být samozřejmě rovna jedné polovině a ne jedné. Opravím, omlouvám se za zmatky, na řešení úlohy se to nicméně neprojeví.

jelena · 09. 09. 2012 22:41

↑ Bati:

ano, děkuji, to jsem myslela.

found · 10. 09. 2012 09:17 — Editoval found (10. 09. 2012 09:17)

Já jen... tázaný se ptal, proč limita neexistuje... Když převádíme souřadnice z kartézských na polární, vidíme v tom následující věc...

$r$ - vzdálenost od bodu
$\varphi$ - úhel, pod kterým se k bodu přibližujeme

Aby existovala limita u funkce více proměnných, musí existovat limita v jakémkoliv směru - tj. NESMÍ BÝT ZÁVISLÁ NA $\varphi$ <- toto je důležité. :)

Ta limita, která je zde zadána, se dá upravit následovně:

$\lim_{r\to 0} \left(\frac{1 - \cos r^2}{r^4}\cdot\frac{1}{\sin\varphi\cos\varphi}\right)^2$

Oba dva prvky ze součinu mají smysl, a tak můžeme provést roztržení limity (věta o aritmetice limit funkcí jedné reálné proměnné):

$\lim_{r\to 0} \left(\frac{1 - \cos r^2}{r^4}\right)^2 \lim_{r\to 0}\left(\frac{1}{\sin\varphi\cos\varphi}\right)^2 = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{\sin\varphi\cos\varphi}\right)^2$

Tento výsledek je závislý na $\varphi$ , teda limita není stejná ze všech směrů. To znamená, že původní limita s bodem $(x,y)\to(0,0)$ nemůže existovat.

Bati · 10. 09. 2012 09:50

↑ found:
Samá pravda, ale doufal jsem, že v tom pro fffghj není problém, vzhledem k tomu, že už tu řešil několik příkladů převodem do pol. souř.

jelena · 10. 09. 2012 09:57

↑ found:

:-)

ptal se "tazatel", ne "tázaný" a také na toto: "Jinými slovy nevím, jakým způsobem mám vykrátit tu proměnnou $r$ , aby bylo vidět, že výsledek limity závisí na cestě, z jaké se k tomuto bodu blížíme".

Vážně - děkuji za podrobné doplnění a zdravím v tématu a nejen :-)

found · 10. 09. 2012 10:23

↑ Bati:
Však ano, já jen pro jistotu, že tu na to od něj nebyla reakce :)

↑ jelena:
Jejks... ano, ptal se tazatel. :D Nicméně také zdravím, dlouho jsem tu nebyl :)

A jak jsem psal Batimu, jen jsem se tak díval, že právě tazatel se tu delší dobu neozval, a tak jsem si řekl, že možná nevidí, proč je ten postup, který jste mu radili, správný. Jeden z vámi razených postupů jsem použil, jen jsem se na něm pokusil vysvětlit, oč jde. :)

fffghj · 14. 09. 2012 15:28

Děkuji všem.

↑ Bati:
Asi by bylo dobré se podívat na nějaký seznam užitečných limit. :)

Matematické Fórum

#1 09. 09. 2012 14:45

Ještě ještě další limita

#2 09. 09. 2012 16:50

Re: Ještě ještě další limita

#3 09. 09. 2012 17:14 — Editoval fffghj (09. 09. 2012 17:15)

Re: Ještě ještě další limita

#4 09. 09. 2012 17:36

Re: Ještě ještě další limita

#5 09. 09. 2012 19:04 — Editoval Bati (09. 09. 2012 22:37)

Re: Ještě ještě další limita

#6 09. 09. 2012 21:10

Re: Ještě ještě další limita

#7 09. 09. 2012 22:20

Re: Ještě ještě další limita

#8 09. 09. 2012 22:37

Re: Ještě ještě další limita

#9 09. 09. 2012 22:41

Re: Ještě ještě další limita

#10 10. 09. 2012 09:17 — Editoval found (10. 09. 2012 09:17)

Re: Ještě ještě další limita

#11 10. 09. 2012 09:50

Re: Ještě ještě další limita

#12 10. 09. 2012 09:57

Re: Ještě ještě další limita

#13 10. 09. 2012 10:23

Re: Ještě ještě další limita

#14 14. 09. 2012 15:28

Re: Ještě ještě další limita

Zápatí