Matematické Fórum

petr.kalny · 20. 11. 2007 18:22

Narazil jsem na vzorec $\frac16n(n+1)(2n+1)$ - to jest vzorec pro součet druhých mocnin přirozených čísel. Jenže já bych na něj rád přišel pomocí kombinačních čísel, přesněji řečeno s pomocí tohoto vzorce: ${r \choose r} + {r+1 \choose r} + {r+2 \choose r} + ... + {n \choose r} = {n+1 \choose r+1}$ Nejspíš bych ho měl použít pro r=2, ne? Ale nejde mi to.

Kondr · 20. 11. 2007 18:36

Zkus využít vztahu $k^2=2{k\choose 2}+{k\choose 1}$ .

Saturday · 27. 11. 2007 12:04

A kde se vzal tento vzorec? Upravil jsem si ho a samozrejme funguje, ale jak jsi na nej prisel nebo z ceho jsi ho odvodil?

Marian · 27. 11. 2007 12:22

Muselo by se to nejak dokazat. Relativne dobre funguje uplna indukce. Ta nam vsak asi naopak nedava odpoved na to, jak se na ten vzorec prislo. V tom pripade musime pouzit nejake jine prostredky. Tady je paleta metod velice siroka. Od elementarnich pristupu prostredky realne analyzy az po integraci v komplexni rovine.

Olin · 27. 11. 2007 15:52

Saturday napsal(a):
A kde se vzal tento vzorec? Upravil jsem si ho a samozrejme funguje, ale jak jsi na nej prisel nebo z ceho jsi ho odvodil?

Pokud myslíš vzorec
$k^2=2{k\choose 2}+{k\choose 1}$
tak ten asi bude někde v literatuře. Ale dá se na to přijít tak, že si podle definice kombinačního čísla uvědomíme, že ${k \choose 2}$ roste kvadraticky, pak už stačí jen přidat vhodný korekční člen, který z toho udělá k^2 (aspoň tak bych to dělal já).

Vzorec $\frac16n(n+1)(2n+1)$ bude asi taky někde v literatuře, nicméně dá se na něj snadno přijít předpokladem, že to bude polynom 3. stupně (samozřejmě jsou možné i jiné metody - např. derivace, myslím že jsem to tu už jednou někde řešili).

Marian · 27. 11. 2007 16:00

Je mozne ten vzorec dokazat pomoci souctu konecne geometricke rady. Dokonce je mozne dokazat jeste obecnejsi tvrzeni, nez je diskutovany vzorec, totiz sumand muze byt ve tvaru $k^2\alpha^k$ , kde $\alpha$ je libovolne komplexni cislo.

Matematické Fórum

#1 20. 11. 2007 18:22

Soušet druhých mocnin

#2 20. 11. 2007 18:36

Re: Soušet druhých mocnin

#3 27. 11. 2007 12:04

Re: Soušet druhých mocnin

#4 27. 11. 2007 12:22

Re: Soušet druhých mocnin

#5 27. 11. 2007 15:52

Re: Soušet druhých mocnin

Saturday napsal(a):

#6 27. 11. 2007 16:00

Re: Soušet druhých mocnin

Zápatí