Matematické Fórum

Nine · 14. 09. 2012 17:39

Zdravím,
prosím o rady jak řešit takto zadaný příklad:
určete lokální extrémy funkce $u=x^{2}+y^{2}+3z^{2}+x-y+2$

hlavně to zetko mě dost mate :-/

Blackflower · 14. 09. 2012 18:38

Skús si pozrieť tieto linky, možno ti to pomôže:
príklad : http://www.fem.uniag.sk/km/aplikovana_m … my_rp.html
teória : http://www.fem.uniag.sk/km/aplikovana_m … tremy.html

Nine · 14. 09. 2012 18:56

↑ Blackflower:Díky. Teorie si sice pomůže, bohužel ale v žádném příkladu není z jako v tom mém, a to mě právě dost mate...nevím jaksi co s tim :-/

Blackflower · 14. 09. 2012 19:02

Ešte sme sa parciálne derivácie neučili, tak som ich iba nejako intuitívne pochopila, neviem, či správne. Podľa mňa sa teória, čo je napísaná pri funkcii dvoch premenných, dá použiť aj pri troch a viacerých, len bude mať viacej vetiev. Treba si napísať derivácie podľa x, y, z zvlášť, potom to postupne zderivovať zvyšnými dvoma premennými a položiť rovné nule. Podľa mňa by to malo stačiť, ale bolo by fajn, keby sa k tomu vyjadril aj niekto múdrejší ako ja. :)

Takjo · 14. 09. 2012 21:15

↑ Nine:
Dobrý večer,
jde o nalezení lokálních extrémů funkce 3 poměnných.
Možná vám pomůže tento obecný návod:

Nine · 14. 09. 2012 22:19

Začala jsem tedy takto:

vypočet derivací 1.řadu:
dle x: $=2x+1$
dle y: $2y-1$
dle z: $6z$

dále výpočet stac.bodů:
$2x+1=0$
$x=-\frac{1}{2}$

$2y-1=0$
$y=\frac{1}{2}$

$6z=0$
$z=0$

derivace 2.řádu:
podle x: $2\cdot 1=2$
podle y: $2\cdot 1=2$
podle z: $6\cdot 1=6$
podle xy: $=0$
podle xz: $=0$
podle yz: $=0$

Dalším postupem si už nejsem jistá a ani nevím, zda to co mám mám správně....

Takjo · 14. 09. 2012 22:48

↑ Nine:
Dobrý večer,
máte to naprosto správně, takže teď ještě vypočtěte všechny tři determinanty $D_{1}$ , $D_{2}$ a $D_{3}$
a na základě nich určete zda má funkce lokální extrém, případně jaký...

Nine · 14. 09. 2012 23:30

↑ Takjo:Děkuji za zkontrolování. Bohužel právě na výpočtu těch determinantů jsem se zasekla...nějak mi to nejde

Takjo · 14. 09. 2012 23:52

↑ Nine:
Dobrý večer,
$D_{1}=\frac{\delta ^{2}f}{\delta x^{2}}=2$
a protože u $D_{2}$ a $D_{3}$ jsou všechny prvky mimo hlavní diagonálu nulové, potom:
$D_{2}=\frac{\delta ^{2}f}{\delta x^{2}}\cdot \frac{\delta ^{2}f}{\delta y^{2}}=2\cdot 2=4$
$D_{3}=\frac{\delta ^{2}f}{\delta x^{2}}\cdot \frac{\delta ^{2}f}{\delta y^{2}}\cdot \frac{\delta ^{2}f}{\delta z^{2}}=2\cdot 2\cdot 6=24$
V bodě $A\equiv [-\frac{1}{2};\frac{1}{2};0]$ je tedy lokální minimum (dle obecného návodu výše).
Jeho hodnota je: $u_{A}=(-\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}+3\cdot 0-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}$

nejsem_tonda

Mimochodem cela uloha se da resit i pouhou upravou na ctverec:

$u=x^{2}+y^{2}+3z^{2}+x-y+2=\left( x+\frac12 \right)^2 + \left(y-\frac12\right)^2 + 3z^2 + \frac32$
a odtud je videt, ze v bode $\left[-1/2,1/2,0\right]$ je minimum a nikde jinde zadne extremy nejsou.

Cili neni potreba zadna teorie. Na druhou stranu je nutne priznat, ze v pripade slozitejsiho zadani by bylo potreba pouzit zminenou teorii.

Matematické Fórum

#1 14. 09. 2012 17:39

Lokální extrémy funkce

#2 14. 09. 2012 18:38

Re: Lokální extrémy funkce

#3 14. 09. 2012 18:56

Re: Lokální extrémy funkce

#4 14. 09. 2012 19:02

Re: Lokální extrémy funkce

#5 14. 09. 2012 21:15

Re: Lokální extrémy funkce

#6 14. 09. 2012 22:19

Re: Lokální extrémy funkce

#7 14. 09. 2012 22:48

Re: Lokální extrémy funkce

#8 14. 09. 2012 23:30

Re: Lokální extrémy funkce

#9 14. 09. 2012 23:52

Re: Lokální extrémy funkce

#10 15. 09. 2012 00:01 — Editoval nejsem_tonda (15. 09. 2012 00:02)

Re: Lokální extrémy funkce

Zápatí