Matematické Fórum

nordec · 03. 09. 2012 04:46 — Editoval nordec (03. 09. 2012 05:17)

Zdravím, potřeboval bych poradit s následujícími příklady:

1) Podle průzkumu, kterého se účastnilo 400 lidí, vlastní psa 240 z nich. Určete intervalový odhad pro podíl majitelů psů o asymptotické spolehlivosti 0,95 pomocí CLV.

2) $X_1,...,X_n$ je výběr, kde jednotlivá pozorování mají hustotu $f(x,\theta) = 3\theta^3\frac{1}{x^4}\int_\theta^\infty(x)$ . Určete maximálně věrohodný odhad.

3) X, Y jsou nezávislé náhodné veličiny, X má exponenciální rozdělení s parametrem $\lambda > 0$ , Y má rovnoměrné rozdělení na $(0;\theta), \theta > 0$ . Určete rozdělení, střední hodnotu a rozptyl veličiny X + Y.

4) Ankety se zúčastnilo 950 lidí. Na určitou otázku jich 53% odpovědělo "ANO" a zbytek "NE". Lze obecně říci, že by vetšina volila možnost "ANO"?

Můj pokus o řešení:
1) podíl majitelů psů: $\overline{X}=\frac{240}{400}=0,6$
$n=400$
$\alpha=1-0,95=0,05$
$u_{0,975}=1,96$ (z tabulky)

intervalový odhad: $\overline{X} \pm u_{1-\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{\overline{X}(1-\overline{X})}{n}}=0,6 \pm u_0,975\frac{\sqrt6}{100}=0,6 \pm 0,048=(0,552;0,648)$

2) tady si vůbec nejsem jist postupem. Lze najít maximálně věrohodný odhad jako maximum funkce $\sum_{i=1}^{n}{log(3\theta_i^3\frac{1}{x_i^4}\int_{\theta_i}^\infty(x_i))}$ ?

3) z tabulky:
exponenciální rozdělení $Exp(\lambda)$ : $f(x)=\frac{1}{\lambda}e^{-\frac{x}{\lambda}}$ $EX=\lambda$ $var X =\lambda^2$
rovnoměrné rozdělení $R(a,b)$ : $f(y)=\frac{1}{b-a} pro x \in (a;b), jinak f(y)=0$ $EY=\frac{a+b}{2}$ $var Y =\frac{(a-b)^2}{12}$

střední hodnota X+Y: $E(X+Y)=\lambda+\frac{\theta}{2}$
rozptyl X+Y: $var(X+Y)=\lambda^2+\frac{\theta^2}{12}$
rozdělení X+Y: $f(z)=\int_{-\infty}^0f(x)f(y)=\int_{-\infty}^0\frac{1}{\lambda}e^{-\frac{x}{\lambda}}.0=0 pro z\in(-\infty;0)$
$f(z)=\int_0^zf(x)f(y)=\int_0^z\frac{1}{\lambda}e^{-\frac{x}{\lambda}}\frac{1}{\theta}=\frac{1}{\theta}(-e^{-\frac{z}{\lambda}}+1) pro z\in(0;\theta)$
$f(z)=\int_\theta^{\infty}f(x)f(y)=\frac{1}{\lambda}e^{-\frac{x}{\lambda}}.0=0 pro z\in(\theta;\infty)$

4) $p_1=0,53$
$p=0,5$
$n=950$

test (zvolil jsem 5% hladinu významnosti):
$|p_1-p|\sqrt{\frac{n}{p_1(1-p_1)}}>u_{0,975}$
$18>1,96$ platí, hypotézu nezamítáme, vetšina by volila možnost "ANO"

Předem díky.