Matematické Fórum

Tom711 · 17. 09. 2012 16:05

Ahoj. Vedel by mi niekto pomôcť s takýmito úlohami? Bol by som vám vďačný.
1. Dvanásť ludí si podáva ruky. Kolko bude podaní?

Riešil by som to asi takto (nevirm či správne)

Je dvanásť ludí teda n=12 podávajú si ruky vždy dvaja teda k=2. Ďalej som išiel úvahou. Podanie rúk A a B = B a A tj. Nezáleží na poradí a nesmú sa opakovať jednotlivé možnosti. Teda by to mala byť kombinácia nie? A teda výpočet podla n! / k! * (n-k)! Z čoho po dosadení vyjde 66. Ak som správne rátal. Myslíte že takto to má byť?

2. Pokladník zabudol päťciferné heslo od sejfu. Vedel že prostredné je nula. Kolko najviac kódov musí vyskúšať aby ho uhádol?

Riešil som to takto. Možnosí na každé miesto je 10 (0-9). Nezabudnúť na 0. Takže som to počítal ako variáciu s tým že záleží na poradí a možu sa čísla opakovať. Teda mi to vyšlo že n=10 k=4 (to miesto čo vie to predsa neovplyvňuje) A teda to bude n^k z čoho plynie 10^4. Mohlo by to tak byť?

3. Evidenčné číslo sa skladá z dvoch písmen (A,B,C,D na výber) a dvoch čísel (1,2,3 na výber). Kolko maximálne áut možno zaevidovať aby sa značky neopakovali?

Riešenie. Rozdelil som si to na dve časti. V prvej som si vyrátal kolko može byť možností tých písmen. Vyšlo mi že to je variácia, záleží na poradí a možu sa opakovať. Teda n=4 k=2 čo je n^k čo je 16. Druhá časť čísla vyšla analogicky, iba n=3 a k=2, rovnaký vzorec a teda 9. A teraz som rozmýšlal že keď mám AA tak k nemu možem dať 9 možností čísel! A teda som iba vynásobil 16*9 a vyšlo mi 144 značiek. Je postup správny alebo som sa niekde sekol?

Ďakujem vopred každému kto si na to nájde chvílku času :)

marnes · 17. 09. 2012 16:53 — Editoval marnes (17. 09. 2012 16:56)

↑ Tom711:

1) OK

2) OK

3) pokud nemusí být nejdříve písmenka a pak číslice, tudíž i třeba situace A1A1, tak je tvůj postup OK

Tom711 · 17. 09. 2012 17:28

↑ marnes:

A prosím ako by sa to riešilo ak by sa zadala podmienka že musí byť najprv dvojica písmen a potom dvojica čísel?

marnes · 17. 09. 2012 17:43

↑ Tom711:

Teď jsem nad tím ještě trochu přemýšlel a to co popisuješ je situace, kdy mají být nejdříve dvě písmenka a pak dvě číslice.

U té druhé situace by to bylo náročnější. Zkusím si to projít. Třeba se ozve někdo další

marnes · 17. 09. 2012 18:06

↑ Tom711:

Když bych měl značku AB12, a mohl bych mít písmenka a číslice kdekoliv, tak abych určil všechny možnosti, tak je to 4!

Takže 16.9.4!

Jenže problém je u třeba AA11, tj tam, kde jsou dvě stejné písmenka či číslice. Těch možností, kdy je toto splněno je
stejné písmenka a různé číslice 4.3.2
stejné číslice a různá písmenka 3.4.3
stejné číslice a stejná písmenka 3.4

a u každé situace si uvědomit, že variací je 4!
AA11,A11A,11AA,... všechny varianty dvou áček a dvou jedniček je 4!

shrnutí: 16.9.4! - (4.3.2+3.4.3+3.4).4!

Ale je to jen můj návrh. Třeba to jde jednodušeji

zdenek1 · 17. 09. 2012 18:10

↑ marnes:
vyberu dvě pozice ze 4 pro písmena ${4\choose2}$
a pokračuju jako bez této podmínky: vyberu první písmeno 4 možnosti
druhé 4
první číslice 3
druhá číslice 3

marnes · 17. 09. 2012 18:14

↑ zdenek1:
Jo je to možný, musel bych mít před sebou tvůj celý zápis, abych se do toho potopil a zkoumal. Jde o to, aby to pochopil Tom711.

nejsem_tonda

↑ Tom711:
Ahoj,
omlouvam se za vstup.

ad 3) Pokud ma evidencni cislo byt typu $PPCC$ (P-pismeno, C-cislo), je tve reseni spravne. Pokud muze byt v libovolneho typu, pak bych nejdrive ze ctyr pozic vybral dve pozice, na ktere budeme chtit dat pismeno. To muzeme udelat $4\choose 2$ zpusoby. Potom pro kazdy "typ" evidencniho cisla je $16\cdot 9$ moznosti z duvodu, ktere jsi popsal pro pripad $PPCC$ . Celkem tedy
${4\choose 2}\cdot 16\cdot9$
evidencnich cisel.

Tom711 · 17. 09. 2012 18:39

Oh aha ale čo je to v zátvorke?

jarrro · 17. 09. 2012 18:41

kombinačné číslo

Tom711 · 17. 09. 2012 18:45 — Editoval Tom711 (17. 09. 2012 18:47)

S kombinačným číslom sme ešte nerobili takže ani neviem ako funguje. Ale postup čo napísal marnes je dobrý? Tomu by som ešte pochopil.

Každopádne neviem či kombinačné číslo sa budeme učiť... Preto by mi vyhovovala tá logickejšia (ale aj zdĺhavejšia) metóda... Skúsim sa na to ešte teda pozrieť.

Ps: Študujem na gymnáziu konkrétne som v sexte. Neviem či sa to tam berie...

nejsem_tonda

To je cislo, ktere symbolizuje pocet zpusobu, kterymi lze ze ctyrclenne skupiny vybrat dvojclennou skupinu. Jmenuje se kombinacni cislo, detaily napriklad zde v lekcich Kombinace I, Kombinace II.

Podle ceho jsi spocital prvni ulohu? V momente, kdy tam pises o kombinacich a pouzivas vzorec $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ , tak pocitas kombinacni cislo, ktere se oznacuje taky $n\choose k$ , tj. ${n\choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Takze ${4\choose2} = \frac{4\cdot3}{2} = 6$

Tom711 · 17. 09. 2012 18:53

Tú úlohu som počítal podla toho čo bolo napísané tu na fóre ako vysvetlenie. Tak tam bol tento vzorec... A bolo tam vysvetlenie vo zmysle (teda tak som to pochopil)„použiť ak nezáleží na poradí tj. AB = BA a písmená (ludia) sa nesmú opakovať (tj vylúčiť AA, BB, CC...)

nejsem_tonda · 17. 09. 2012 19:01

Ok, muzeme se vykaslat na kombinacni cislo, kdyz jste ho jeste nebrali. To, co nas zajima, je pocet "typu" evidencnich cisel. Ty muzeme proste vypsat: PPCC, PCPC, PCCP, CPPC, CPCP, CCPP. Je jich 6.

Tom711 · 17. 09. 2012 19:49

Sadol som si nad to a vyšlo mi to takto (ešte predtým by som chcel napísať že PP znamená rovnaké, písmená Pp odlišné, CC rovnaké čísla, Cc, odlišné čísla) Takže:

Máme 4 druhy značiek:
1. PPCC
2. PPCc
3. PpCC
4. PpCc

Teraz. 1. Druh značky. Možností ako dostať PP sú 4(AA,BB,CC,DD) a možností ako dostať CC sú tri (11,22,33). Pri tomto máme 6 typov značiek (vymenované sú hore)
TEDA: 4*3*6 = Počet značiek typu PPCC

2. Máme tu PPCp. Možností ako dostať PP je už spomínaných 4, možností ako dostať Cp je ale 3! A tiež počet typov značiek sa navýšil na 12 (je to ako PPCC akurát v každej jednej možnosti z PPCC nám vzniknú dve napr z PPCC vznikne PPCc a PPcP)
TEDA: 4*3!*12 = Počet značiek typu PPCc

3. Ideme podobne. PpCC. Takže možností ako dosiahnuť Pp je 4!, CC je spomínaných 3 (11,22,33). Typov značiek je zase 12.
TEDA: 4!*3*12

4. Záverečné. Tu musí byť všetko odlišne tj. PpCc. Z toho plynie že Pp dosiahneme pomocou 4!, Cc dosiahneme ako 3!, ALE počet typov značiek je v tomto prípade až 24 pretože z každého typu z PPCC urobíme 4 čo je 6*4=24
TEDA: 4!*3!*24 = Počet značiek typu PpCc

ZÁVEROM: Celkový počet značiek sa rovná PPCC + PPCc + PpCC + PpCc čo je (4*3*6)+(4*3!*12)+(4!*3*12)+(4!*3!*24)

Ufff... Vyzná sa v tom niekto? Dúfam že som na to došiel aj keď je to strašne neprehladné a zložité...

nejsem_tonda

↑ Tom711:
Moc se mi libi, ze nad tim premyslis. Bohuzel to neni spravne.

Nebudu komentovat kazdy krok, protoze si myslim, ze tam mas preklepy (napr. odhaduju, ze chces psat "2. Máme tu PPCc." misto "PPCp"). Opakuje se tam jedna dulezita chyba. Kdyz urcujes pocet "podskupinek" typu Pp, pises do soucinu 4!. Jenze pro velke P mame na vyber ze 4 pismen a pro male p mame na vyber ze 3 pismen (uz nechceme pouzit to prave pouzite), takze pocet "podskupinek" typu Pp je 4*3.

Pak je tam jeste jedna "mensi" chyba v tom, ze pocet typu znacek (ktere jsem vyjmenoval v prechozim pripevku) je porad 6, ta 12 neni spravne (neni totiz rozdil mezi "podskupinkou" Pp a pP).

Posledni poznamka je, ze cela ta uvaha se da zjednodusit (to ale samozrejme neni chyba). Nepotrebujeme rozlisovat pripady, kdy jsou dve pismenka stejne a kdy jsou ruzne. Znacky typu (pismenko)(pismenko)(cislo)(cislo), tj. to co jsem ve svem predchozim prispevku znacil PPCC, ale neco jineho, nez co znacis ty PPCC, muzeme popsat souhrne. Na prvni pozici mame na vyber ze 4 pismenek, na druhou pozici muze prijit opet libovolne ze 4 pismenek, na treti pozici libovolne ze 3 cisel a na ctvrtou pozici opet libovolne ze 3 cisel, celkem 4*4*3*3. (Presne to, co jsi uz spravne psal v tvem prvnim prispevku. Nebo take presne to, co zdenek1 odkryl ve svem drive zakrytem prispevku.)

Tom711 · 18. 09. 2012 15:36

AHÁ takže ja som v tom prvom vypočítal vlastne všetky možnosti pre PPCC a keď to ešte vynásobim šiestimi vyjde to! Takže to je vlastne 144 riešení PPCC*6 typov tých umiestnení.

Ďakujem vám teda moc že ste mi pomohli.

Matematické Fórum

#1 17. 09. 2012 16:05

Variácie, kombinácie - 3 úlohy

#2 17. 09. 2012 16:53 — Editoval marnes (17. 09. 2012 16:56)

Re: Variácie, kombinácie - 3 úlohy

#3 17. 09. 2012 17:28

Re: Variácie, kombinácie - 3 úlohy

#4 17. 09. 2012 17:43

Re: Variácie, kombinácie - 3 úlohy

#5 17. 09. 2012 18:06

Re: Variácie, kombinácie - 3 úlohy

#6 17. 09. 2012 18:10

Re: Variácie, kombinácie - 3 úlohy

#7 17. 09. 2012 18:14

Re: Variácie, kombinácie - 3 úlohy

#8 17. 09. 2012 18:31 — Editoval nejsem_tonda (17. 09. 2012 18:38)

Re: Variácie, kombinácie - 3 úlohy

#9 17. 09. 2012 18:39

Re: Variácie, kombinácie - 3 úlohy

#10 17. 09. 2012 18:41

Re: Variácie, kombinácie - 3 úlohy

#11 17. 09. 2012 18:45 — Editoval Tom711 (17. 09. 2012 18:47)

Re: Variácie, kombinácie - 3 úlohy

#12 17. 09. 2012 18:46 — Editoval nejsem_tonda (17. 09. 2012 18:50)

Re: Variácie, kombinácie - 3 úlohy

#13 17. 09. 2012 18:53

Re: Variácie, kombinácie - 3 úlohy

#14 17. 09. 2012 19:01

Re: Variácie, kombinácie - 3 úlohy

#15 17. 09. 2012 19:49

Re: Variácie, kombinácie - 3 úlohy

#16 17. 09. 2012 20:34 — Editoval nejsem_tonda (17. 09. 2012 20:50)

Re: Variácie, kombinácie - 3 úlohy

#17 18. 09. 2012 15:36

Re: Variácie, kombinácie - 3 úlohy

Zápatí