Matematické Fórum

Marc27 · 18. 09. 2012 10:04

Ahoj, mohl mi nekdo tak trochu vysvětlit kroky v důkazu divergenece této posloupnosti $(-1)^{n}$ , prosím?
Vím, že $\lim_{n\to \infty } (-1)^{n}$ neexistuje (posloupnost osciluje). Důkaz je proveden sporem. Předpokládáme, že $\lim_{n\to \infty } (-1)^{n} = A$ a je zvoleno $\varepsilon = \frac{1}{3}$ . V důkazu je to takto: $2 = |(-1)^{n}-(-1)^{n+1}| = |(-1)^{n}-A + A -(-1)^{n+1}| \le |(-1)^{n}-A|+|A-(-1)^{n+1}|\le \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ . Rád bych se zeptal, proč jsem v rovnosti uvažoval právě číslo 2 a také proč jsem ještě odečital od $(-1)^{n}$ výraz $(-1)^{n+1}$ . Předem děkuji za každou radu.

Stýv · 18. 09. 2012 11:54

myšlenka toho důkazu je zřejmě taková, že pro velká $n$ z definice limity jsou členy $(-1)^{n}$ a $(-1)^{n+1}$ blízko $A$ . jejich vzdálenost je ale $2$ pro každý $n$ (to je to $2 = |(-1)^{n}-(-1)^{n+1}|$ ), což vede ke sporu

Marc27 · 18. 09. 2012 13:52

↑ Stýv:
Děkuji, už tomu rozumím.A stejně bych postupoval i u posloupnosti $\cos (\pi n)$ , že?
Ještě bych se rád zeptal na postup u důkazu divergence posloupnosti $(2n)$ . Zde bych postupoval podle definice $\forall k> 0 \exists n_{0}\in N, \forall n\in N,n\ge n_{0}: a_{n}\ge K$ a stačilo by mi dokázet, že toto platí pro každé K má tato posloupnost nevlastní limitu $+\infty$ ?