Matematické Fórum

Marty88

Ahoj,
Prosím všechny o pomoc...
Mám dány determinanty matic typu:

|a 1|
|1 a|

|a 1 1|
|1 a 1|
|1 1 a|

|a 1 1 1|
|1 a 1 1|
|1 1 a 1|
|1 1 1 a|

a dále pokračující (prostě vždy je to matice nxn a na té jedné "úhlopříčce" jsou samá a
víme že by měli jejich determinanty být typu (a+n)((a-1)^n)
Když jsem to přepočítával tak ty determinanty matice
2x2..........n=1
3x3..........n=2
4x4..........n=3
atd
Mám to ale dokázat matematickou indukcí...
PS.:POkud by to někomu pomohlo tak ty determinty vycházejí takhle:
matice
2x2.... $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a^2-1$
3x3.... $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a^3-3a%2B2$
4x4.... $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a^4-6a^2%2B8a-3$
Díky moc za rychlou odpověď!Zachráníte mi život...

Chyba ve znamínku u toho obecného typu determinantu...

Marian · 18. 11. 2008 23:48 — Editoval Marian (18. 11. 2008 23:48)

↑ Marty88:
Co to znamená, že determinant je typu

(a+n)((a-1)^n)?

To jsem nějak nepochopil. Ale třeba jsem něco přehlídnul.

Marty88 · 19. 11. 2008 00:00

↑ Marian:
No když do (a+n)((a-1)^n) doplníš
n=1
Vyjde determinant té první matice
když doplníš
n=2
vyjde determinant druhé matice
atd...

Marian · 19. 11. 2008 00:06

↑ Marty88:

Šlo mi o spojení typ determinantu. Měl jsi asi na mysli tvar (výsledku) determinantu. Chtěl jsem to vědět pro jistotu.

Marty88 · 19. 11. 2008 00:08

↑ Marian:
Jojo tvar (výsledek) determinantu tak přesně to jsem myslel...
Dokážeš s tím pohnout???

Marian · 19. 11. 2008 01:03 — Editoval Marian (19. 11. 2008 01:05)

↑ Marty88:
Definujme determinant řádu n

Tvrzení jistě platí pro n=1, totiž platí
$D_1:=\left |a\right |=a=(a-1)^0\cdot (a+1-1).$

Předpokládejme, že tvrzení platí pro nějaké fixní n, tedy že platí
$D_n=(a-1)^{n-1}\cdot (a+n-1).$

Chceme dokázat platnost tvrzení pro n+1. Provedeme-li expanzi determinantu $D_{n+1}$ pomocí Laplaceova rozvoje berouce první řádek determinantu $D_{n+1}$ , je
$D_{n+1}=a\cdot (-1)^{1+1}D_n+\delta _{n}=aD_n+\delta _n=a(a-1)^{n-1}\cdot (a+n-1)+\delta _n,$
kde definujeme

Jenže determinanty (všechny budou řádu n) ve výrazu $\delta _n$ se liší pouze pohybem řádku obsahujícím samé jedničky. Ten můžeš posouvat tak, aby determinanty vypadaly stejně (měnit se bude jen znaménko). Pak spočteš hodnotu třeba prvního determinantu ve výrazu $\delta _n$ a použiješ jej k vyčíslení samotného $\delta _n$ . A odpověď na otázku, jak takové determinanty efektivně spočítat je celkem snadná - převeď ten první determinant na determinant ve stupňovém tvaru (pod diagonálou budou nuly). Podaří se ti ukázat, že platí

Odtu pak dostaneš
$\delta _n=-n(a-1)^{n-1}.$
Dosadíš-li toto do výrazu pro $D_{n+1}$ , máš pak identitu
$D_{n+1}=(a-1)^n(a+n),$
což je dokazované tvrzení pro hodnotu n+1.