Matematické Fórum

Keeeeke · 20. 09. 2012 14:38

AHoj, mám nalézt podmnožiny R, na nichž je prostá funkce f daná předpisem
$f(x)=9^x-6\cdot 3^x$
urči inverzní funkce k restrikcím f na tyto množiny a jejich definiční obory a obory hodnot.

Řešil jsem takto:
$f(x)=9^x-6\cdot 3^x$ doplnění na čtverec
$(y+9)=(3^x-3)^2$ budu odmocnovat, tak mám podmínku $y\ge -9$
Dále rozdělím na dva intervaly, kde je funkce prostá:

1 -interval
$3x-3\le0$
$x\le1$

$3^x-3=-\sqrt{y+9}$
$x=\log_{3}(3-\sqrt{y+9})$

2 -interval
$3x-3\ge0$
$x\ge1$

$3^x-3=\sqrt{y+9}$
$x=\log_{3}(3+\sqrt{y+9})$

Určit D, H je brnkačka, je to OK?

Rumburak · 20. 09. 2012 15:31

↑ Keeeeke:
Ahoj.

První podmínka

(1) $y\ge -9$

je určena správně, z rovnice $(y+9)=(3^x-3)^2$ pak plyne $3^x-3=\pm\sqrt{y+9}$ neboli

$3^x= 3\pm\sqrt{y+9}$ ,

tím dostáváme dvě větve řešení.

1) Z rovnice $3^x= 3 + \sqrt{y+9}$ snadno určíme $x= \log_3(3 + \sqrt{y+9})$ a splnění podmínky (1) k tomu stačí.

2) Avšak k obdobnému postupu s rovnicí $3^x= 3 - \sqrt{y+9}$ ještě potřebujeme, aby její pravá strana byla kladná.
Takže pro tento případ nutno podmínku (1) zpřísnit na

(2) $0 > y\ge -9$ .

Matematické Fórum

#1 20. 09. 2012 14:38

Předpis inverzní funkce

#2 20. 09. 2012 15:31

Re: Předpis inverzní funkce

Zápatí