Matematické Fórum

Hnykda · 22. 09. 2012 15:42 — Editoval Hnykda (22. 09. 2012 17:06)

Chyba názvu - jedná se o nerovnice...

Ahoj, dostal jsem tento příklad, a nevím si s ním rady. Dostanu se k řešení, ale jeho interpretace mi dělá problém.

Zadání:
$|2 x^3 - 7 x^2 + 7 x - 2| \ge |2 x^3 + 7 x^2 + 7 x + 2|$

našel jsem si nulové body obou abs. hodnot:

$|2(x-2)(x-1)(x-\frac{1}{2})| \ge |2(x+2)(x+1)(x+\frac{1}{2})|$

vznikne mi tedy 7 intervalů s tím, že (z leva) 1., 3., 5., a 7. interval jsou totožné a nemají řešení (vychází, že $x^2\ge-\frac{2}{7}$ ), a 2., 4. a 6. interval vychází že $x\le 0$ . Vyjde mi tedy řešení:
$x\in \langle-2,-1\rangle \cup \langle-\frac{1}{2},0\rangle$

Vyjít má ale že: $x\le0$

Kde dělám chybu? Díky

Edit: Tisková chyba - díky houbařovi za upozornění

houbar · 22. 09. 2012 15:50

Zdravím,

V druhém řádku se strany rovnají. Chyba by mohla být zde...

Hnykda · 22. 09. 2012 16:02

To jsem se pouze přepsal - pardon. Chyba musí být jinde.

houbar · 22. 09. 2012 19:31

vlevo
vpravo
Třeba pomůže.

houbar · 22. 09. 2012 22:23

Tak to mám.
Pokud to chceme řešit početně:
$1. x\in (-\infty ;-2)\cup (-1;-1/2)$
$-2x^3 +7x^2 - 7x +2\ge -2x^3 -7x^2 - 7x -2$
$14x^2 \ge -4$
platí vždy.

$2. x\in \langle-2;-1\rangle\cup \langle-1/2;1/2\rangle$
$-2x^3 +7x^2 - 7x +2\ge 2x^3 +7x^2 +7x+2$
$-4x^3 \ge 14x$
2.1 $x=0$
2.2 $x \le 0$
$-4x^2 \le 14$
$x^2 \ge -7/2$
platí vždy
2.3 $x \ge 0$
BEZ ŘEŠ. v $\mathbb{R}$

Zbytek intervalu nemá v oboru reálných čísel řešení.

$\Rightarrow x\le 0$
neboli
$x\in (-\infty; 0\rangle$

Jde řešit i graficky: Vím, že polynomy budou "navzájem symetrické" - nakreslím si graf a podle něj zjistím, že se fce budou rovnat někde kole nuly - zavedu rovnici s přepsanými abs. hodnotami, vyjde mi x=0 (průsečík), pak z grafu možno vyčíst, kdy bude kerý polynom vyšší.

zdenek1 · 22. 09. 2012 22:32

↑ Hnykda:
To se dělá jinak.
Obě strany nerovnice jsou nezáporné, takže je můžeme umocnit na druhou
Dosatneš
$(2x^3-7x^2+7x-2)^2\ge(2x^3+7x^2+7x+2)^2$
$(2x^3-7x^2+7x-2)^2-(2x^3+7x^2+7x+2)^2\ge0$ a podle vzorce $a^2-b^2$
$(2x^3-7x^2+7x-2-2x^3-7x^2-7x-2)(2x^3-7x^2+7x-2+2x^3+7x^2+7x+2)\ge 0$
$(-14x^2-4)(4x^3+14x)\ge 0$
$x(7x^2+2)(2x^2+7)\le 0$
$x\le0$