Matematické Fórum

redhott · 23. 09. 2012 10:53

Dobrý den,
chtěl bych vás poprosit o radu. Mám příklad:
Přímo z definice limity dokažte, že:
$\lim_{n\to\infty}(-1)^n\frac{1}{3-2n}=0$

Vím, že budu pro libovolné číslo $\varepsilon$ hledat přirozené číslo $N \in \mathbb{N}$ , takové aby platilo
$|a_n-0|<\varepsilon$ , to znamená $|(-1)^n\frac{1}{3-2n}-0|<\varepsilon$ ... $|(-1)^n\frac{1}{3-2n}|<\varepsilon$ , ale dál bohužel nevím jak pokračovat. Budu velice vděčný za Vaši pomoc.

Mihulik · 23. 09. 2012 11:18

Ahoj,
$|(-1)^{n_{0}}\frac{1}{3-2n_{0}}|=|\frac{1}{3-2n_{0}}|=\frac{1}{2n_{0}-3}<\varepsilon$
a už jen poupravuj nerovnici tak, abys viděl, jak velké $n_{0}$ je třeba volit pro dané $\varepsilon$ :-)

P.S. Rovnost $|\frac{1}{3-2n_{0}}|=\frac{1}{2n_{0}-3}$ platí pro $n_{0}\ge 2$ , to nám ale nevadí.

redhott · 23. 09. 2012 11:36

↑ Mihulik:

Děkuji, jen pro kontrolu prosím:

$\frac{1}{2n-3}<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\varepsilon }+3<2n\Leftrightarrow n>\frac{1+3\varepsilon }{2\varepsilon }$

Stačí tedy vzít $N=\frac{1+3\varepsilon }{2\varepsilon }$ případně jiné $N>0$ splňující $N>\frac{1+3\varepsilon }{2\varepsilon }$

Je to tak?
ještě jednou děkuji

Mihulik

↑ redhott:
Vyšlo mi to samé:)

Jen pro úplnou přesnost ono $n_{0}$ by mělo být nejen větší než $\frac{1+3\varepsilon }{2\varepsilon }$ , ale zároveň i větší/rovno $2$ , aby naše úpravy byly korektní.
Hledané $n_{0}$ by také mělo být přirozené číslo, takže bych rovnost $n_{0}=\frac{1+3\varepsilon }{2\varepsilon }$ obecně nepsal a když už, tak napsal $n_{0}=[\frac{1+3\varepsilon }{2\varepsilon }]$ , kde $[x]$ značí horní celou část $x$ .