Matematické Fórum

jiras · 23. 09. 2012 13:18

Ahoj mám problém. Vůbec si nevím rady s tímhle tvarem binomické věty a natož s její indukcí.
Poradí mi někdo prosím.

$(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}(n(nad)k)*x^{k}$

Geronimo · 23. 09. 2012 13:35

Ja bych ji napsal takto:

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$

Pro tvuj pripad je jeden ze scitancu 1 a 1 na cokoliv je jedna.

Nevim tedy konkretne, co nechapes, ale mozna pomuze si vypsat par clenu:

$(x+y)^1&=\sum_{k=0}^1 \binom{1}{k} x^{1-k} y^k = \binom{1}{0} x y^0 + \binom{1}{1} x^0 y = x+ y \\ (x+y)^2&=\sum_{k=0}^2 \binom{2}{k} x^{2-k} y^k = \binom{2}{0} x^2 y^0 + \binom{2}{1} xy + \binom{2}{2} x^0 y^2 = x^2+2xy+y^2$

atd.

jiras · 23. 09. 2012 13:54

↑ Geronimo:
Když si to takhle vypíšu tak to chápu jak to funguje.
Avšak pro ten můj původní tvar to nechápu.

$(1+x)^{1}=\sum_{k=0}^{1}(^{1}_{0})*x^{0}=x$

$(1+x)^{2}=\sum_{k=0}^{2}(^{2}_{0})*x^{0}=x$

dělám to správně? vůbec nevím?

Geronimo · 23. 09. 2012 14:13

Spatne dosazujes:

Vzorec je $(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k$

Postupne dosataveme:

$(1+x)^1&=\sum_{k=0}^1 \binom{1}{k} x^k = \binom{1}{0} x^0 + \binom{1}{1} x^1 =1+x \\ (1+x)^2&=\sum_{k=0}^2 \binom{2}{k} x^k = \binom{2}{0} x^0 + \binom{2}{1} x^1 + \binom{2}{2} x^2 =1 + 2x + x^2$

jiras · 23. 09. 2012 15:34

↑ Geronimo:
Tak tohle jsem pochopil. A když to budu chtít dokázat indukcí? Tak místo n dosadím n+1 a vypočítám to?

Geronimo

Nejprve je potreba to dokazat pro $n=0$ , coz plati.

Potom predpokladas, ze to pro nejake $n$ plati $(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k$ a potrebujes ukazat, ze to bude platit i pro $n+1$ .

Takze ukazat, ze $(1+x)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^k$ .

Podivej se na dukaz sem, je to v podstate to same v blede modrem.

jiras · 23. 09. 2012 17:03

↑ Geronimo:

Je tohle teda konec nebo ne?
Nějak se nemůžu dohrabat ke konci.

$(1+x)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^k$

nebo je tohle konec?

$1+2x+x^{n+1}$

Geronimo · 23. 09. 2012 18:06

Podivej se do tohoto tematu, resi se tam to same.
Asi nejaky ukol na FIT co?

Matematické Fórum

#1 23. 09. 2012 13:18

Matematická indukce binomické věty

#2 23. 09. 2012 13:35

Re: Matematická indukce binomické věty

#3 23. 09. 2012 13:54

Re: Matematická indukce binomické věty

#4 23. 09. 2012 14:13

Re: Matematická indukce binomické věty

#5 23. 09. 2012 15:34

Re: Matematická indukce binomické věty

#6 23. 09. 2012 15:43 — Editoval Geronimo (23. 09. 2012 15:44)

Re: Matematická indukce binomické věty

#7 23. 09. 2012 17:03

Re: Matematická indukce binomické věty

#8 23. 09. 2012 18:06

Re: Matematická indukce binomické věty

Zápatí