Matematické Fórum

redhott · 23. 09. 2012 18:31

Dobrý večer,
nevíte prosím někdo jak vypočítat limitu, bez využití l´Hospitalova pravidla:
$\lim_{n\to\infty}\frac{\log{n}}{n}$

Děkuji.

Geronimo · 23. 09. 2012 18:50

Vyraz $\lim_{n\to\infty}\frac{\log{n}}{n}$ se da prepsat $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\log{n}=\lim_{n\to\infty} \log \sqrt[n]{n}$ .

Musis ale jeste umet urcit cemu se rovna $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}$

redhott · 23. 09. 2012 19:04

↑ Geronimo:
Děkuji, dál asi vím jak pokračovat:
$\sqrt[n]{n}\ge1$ takže můžu přiřadit $\sqrt[n]{n}:=1+a_n$ , kde $a_n\ge 0$ To znamená, že $n:=(1+a_n)^n$

Z binomické věty pak dostanu: $n\ge \frac{n(n-1)}{2}\cdot a_n^2$ a odtud dostanu $a_n\le \sqrt{\frac{2}{n-1}}$ , což znamená, že pro $n$ jdoucí do nekonečna a to, že $a_n\ge 0$ znamená, že $a_n:= 0$ a tedy ta limita $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1+0=1$
Je to ok?