Matematické Fórum

Magicmaster

Zdravím. Předpokládám, že mi chybí jen menší krok, ale potřeboval bych pomoct se součtem řady
$\sum_{k=1}^{n} k^2$

Pomocí vzorce $(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1$ jsem dospěl k tomu, že $\sum (k+1)^3=\sum k^3+3\sum k^2+3\sum k+n$ . Teď upravím to, co znám, takže:
$\sum(k+1)^3-\sum k^3-3\cdot \frac{1}{2}n(n+1)-n=3\sum k^2$

Výraz vlevo stačí vydělit třemi a nějak upravit, ale nevím si rady s těmi dvěma sumami.

Díky za rady

vanok · 24. 09. 2012 19:09

Ahoj ↑ Magicmaster:,
Tento problem sa da riesit vela metodamy.

Tu mas podrobny navod na jednu ( co vyhovuje na strednej skole)

1°) Najdi polynom 3° stupna P ( cize P(x)=ax^3+bx^2+cx+d), taky ze

$P(x+1)-P(x)=x^2$
(vidime okamzite, ze $P(0)=d= 0^2=0$ )
co da
$P(x+1)-P(x)=a(x+1)^3 +b(x+1)^2+c(x+1)+d-(ax^3+bx^2+cx+d) = x^2$
Po vypoctoch prides k jednemu linearnemu systemu

NAJDI HO
odpoved:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

2°)
Mame vdaka 1°)
$P(2)-P(1)= 1^2$
$P(3)-P(2) =2^2$
...

$P(n+1)-P(n)=n^2$

spocitaj vsetki tieto rovnice

dostanes po zjednoduseni

$P(n+1)-P(1)=1^2+2^2+3^2+...+ n^2$

dokonci!

Staci?

Magicmaster · 24. 09. 2012 19:31

Postup zkusím. Mohl byste mi ale poradit, jak upravit ten výraz se sumami, který jsem postoval? Zajímalo by mě to. Díky

skoroakvarista · 24. 09. 2012 19:34

↑ Magicmaster:
Také zdravím. Pokud se nerozhodneš vydat cestou, kterou navrhuje ↑ vanok:, ale zkusíš pokračovat v už začatém, tak zatím postupuješ dobře.
V tomto $\sum(k+1)^3-\sum k^3+3\cdot \frac{1}{2}n(n+1)-n=3\sum k^2$ máš chybku ve znaménku. Podívej se pořádně na ten rozdíl dvou sum, ony se téměř celé odečtou. Zkus si ten rozdíl rozepsat pro konkrétní malé n.

vanok · 24. 09. 2012 19:45 — Editoval vanok (24. 09. 2012 19:46)

↑ Magicmaster:
To myslis na tuto cast?

$P(2)-P(1)= 1^2$
$P(3)-P(2) =2^2$
...

$P(n+1)-P(n)=n^2$
Ak sa toto sppocita to da

$P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+P(4)-P(3)+...-P(n)+P(n+1)-P(n)=1^2+2^2+3^2+...+ n^2$

vsimni si ze vsetki cleny az na $P(n+1)$ a $P(1)$ sa v tom sucte vyskytuju 2 krat z opacnymy znamienkamy.
Preto:
$P(n+1)-P(1)=1^2+2^2+3^2+...+ n^2$

Magicmaster

↑ skoroakvarista:

Jo, to byl překlep. Nevěděl jsem jak odečíst sumy obsahující třetí mocninu, zkusím.

Edit: Aha, už to mám. Celkem jednoduché. Ve výrazu se vyruší všechny členy kromě nejvyššího z první (kladné) sumy, tj. $(n+1)^3$ a nejnižšího ze záporné, tj. $1^3$ .