Matematické Fórum

↑ Dubak1:

Ten dotaz není položen úplně správně, ale myslím, že vím co chceš říct.

Pokud máš implikaci a výrok je nepravdivý, potom bez ohledu na to, jestli je pravda nebo nepravda je celá implikace pravdivá. Viz, pravdivostní tabulka implikace, kterých jsou na netu stovky.

Jedna možnost by byla udělat si pravdivostní tabulku toho výroku v závislosti na prvovýrocích A, B. Ale trošku mě mate, že to máš vyřešit „… nepřímo a sporem“. Já vždycky „nepřímý důkaz“ a „důkaz sporem“ považoval za synonymní výrazy.

Máš nějaké řešené příklady podobného rázu, ze kterých by bylo jasnější, co se po tobě chce?

Pravdivostní tabulka se udělá tak, že si vypíšeš všechny možné kombinace pravdivostí těch prvovýroků A, B a pak postupně vyrábíš pravdivosti složitějších složených výroků v závislosti na těch pravdivostech.

Když začnu..

Např. ve druhé řádce třetího sloupečku (sloupeček ) je 1, protože v té řádce je A nepravda (0), B je pravda (1), takže je také pravda. Podobně v posledním sloupečku je 0, protože A je nepravda, je pravda (což vím z předposledního sloupečku).

A tak dál, stačí přidávat sloupečky pro složitější výroky, až se nakonec dobereš výroku, který máš dokázat – když budou ve sloupci pro ten koncový výrok samé jedničky, tak jsi dokázal, že je pravdivý (protože platí za libovolného ohodnocení prvovýroků A, B).

Co se sporu týče, předpokládej, že ten výrok není pravda. To se může stát jedině tak, že pro některé ohodnocení prvovýroků je pravda a nepravda, nebo že je nepravda, ale je pravda.

Tím se to rozpadlo na dva případy. Když se budu zabývat třeba tím druhým, tak předpokládám, že je nepravda, což může být jedině, když A je pravda a B je nepravda, z čehož už bys měl být schopný odvodit, že musí být také nepravda (když A je pravda, B nepravda), což je spor s tím, že má být pravda (aby neplatila ta ekvivalence). Podobně rozebereš i ten první případ.

Ekvivalence je pravdivá, když buď A i B jsou oba pravdivé výroky nebo A i B jsou oba nepravdivé výroky. Protože to dokazujeme sporem, tak předpokládáme, že ta ekvivalence ze zadání pravdivá není – tím vzniknou ty dva případy, které je třeba vyšetřit.

Další sloupeček v tabulce může být – postupně ten sloupeček vyplňuješ po řádcích – v každém řádku se podíváš, jakou hodnotu má výrok a zneguješ ho. Takže vlastně jenom přehodíš hodnoty z pátého sloupečku. Nakonec tam doplníš už celý výrok – zase půjdeš po řádcích a v každém se podíváš, jestli má v tom řádku výrok (který už tam je) stejnou hodnotu jako výrok (který tam teď už také je, protože jsi ho před chvílí doplnil). Když mají stejnou hodnotu, tak ekvivalence je v tomhle ohodnocení pravdivá, takže do toho řádku dáš jedničku, jinak tam dáš nulu.