Matematické Fórum

Veronika-veve · 23. 09. 2012 18:07

Ahojte,
prosim vas, vie mi niekto povedat, kde mam chybu? V ucebnici mam, ze ta postup.funkcii konverguje rovnomerne, len mne to stale vychadza takto..mam chybu v tom supreme? Ako to mam opravit? Dakujem velmi pekne za ochotu!
tu je priklad:

Stýv · 23. 09. 2012 20:06

vidím tam správně $\sup_{\color{red}x>1}\dotsc$ ?

Veronika-veve · 23. 09. 2012 21:01

↑ Stýv:

ano, x>1 :)

vanok · 23. 09. 2012 23:25 — Editoval vanok (24. 09. 2012 13:02)

↑ Veronika-veve:,
Zda sa mi ze tvoje poznamky v hornej casti dokazuju,
ze tvoja funkcia konverguje jednoducho k nulovej funnkcii .

Potom v druhom riadoku je vypocet derivacie danej funkcie, a je tam ukazane, ze v bode x=1/n, tato funkcia ma maximum.

V poslednej casti je ukazane, ze tvoje sup je 1.... a tak tvoja konluzia je spravna.

N.B. Uvazujem sup na $\mathbb{R}$

Pridam maly priklad, z inou funkciou:
Napr. ak pouzijes podobny postup, ako v tvojich poznamkach,
na postupnost funkcii definovanych takto
$f_n(x)= \frac x {1+n \cdot x^2}$ , uvidis, ze sup je nula a tak ide o rovnomernu konvergenciu k nulovej funkcii.

Poznamka: o ake skripta ide ?
A inac je dost caste, ze aj v tlacenych knihach sa najdu chyby.

Stýv · 24. 09. 2012 12:01

↑ Veronika-veve: takže? jak je to s tím x=1/n?

Veronika-veve · 24. 09. 2012 20:10

↑ vanok:
v prvom rade ti dakujem:) a v druhom, je to zbierka uloh z vyssej matematiky 4- elias, horvat, kajan...

Rumburak · 25. 09. 2012 11:12

↑ Veronika-veve:
Ahoj. I když je téma už označeno za vyřešené, neodpustím si teoretickou poznámku.

Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí je specifickou vlastností této posloupnosti vzhledem k určité podmnožině
(která je částí definičního oboru každé funkce patřící do té posloupnosti).

Proto bavíme-li se o stejnoměrné konvergenci posl. nějakých funkcí, musíme uvést i onu množinu, např. posloupnost $(f_n)$ ,
kde $f_n(x) = \frac{\tan x}{n}$ , konverguje stejnoměrně (k $0$ ) na intervalu $$-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}$$ , avšak ne na intervalu $$-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$$ .

Ze znaku $\sup_{x > 1}$ v Tvém výpočtu sice můžeme usoudit, že máš pod onou množinou na mysli interval $(1, +\infty)$ , avšak také by
mohlo jít o chybu. Proto by bylo vhodné uvést tu množinu explicite.

vanok · 25. 09. 2012 12:36

Pozdravy ↑ Rumburak: ( dufam, ze si mal prijemnu letnu dovolenku a ze sa tu casto uvidime)
Ano uplne z tebou suhlasim, ze kazda funkcia by ma byt urcena jej definicnym oborom ( a inac sa uvazuje najvadci mozny)
Akoze v rieseni kolegini boli pouzitelne uvahy, tak som povazoval $x>1$ za preklep.

Tu mam jeden uzitocny text na wikipedii
http://fr.wikipedia.org/wiki/Convergence_uniforme
kde su uvedene aj bezne kriteria na urcenie rovnomernej konvengercie.
Iste mas, v tvojich archivoch aj Cz alebo SK text na tuto temu, ak je mozne daj sem pre kolegov na to odkaz.

Veronika-veve · 26. 09. 2012 15:59

aha, cize radsej tam napisem x je z $(1;\infty )$
ako $x>1$
ono to nebol preklep....dobre veidet, ze to mam radsej pisat tak, som si myslela, ze je to jedno. Vdaka:)

Rumburak

↑ Veronika-veve:

To ani ne, spíše by chtělo v uvozujícím textu jakkoliv sdělit , že studovaný problém stejnoměrné konvergence dané posloupnosti funkcí
se týká intervalu $(1;\infty )$ . Například: "V ucebnici mam, ze ta postup.funkcii konverguje na int. $(1;\infty )$ rovnomerne, ... " .

vanok · 26. 09. 2012 17:58

Poznamka:
Podla riesenia, ktore si pouzila, sa mi zdalo, ze ide o studium tvojej funkcie na intervale napr ]0,1[... To preto, lebo maxima co si pocitala, su v bodoch $x_n=\frac1n<1$ .
Na takomto intervale sup je skutocne 1, a vtedy nemame rovnomernu konvergenciu.

Ale na intervale, $(1;+\infty )$ , lahko sa ukaze, ze ide o rovnomernu konvergenciu.
(Ale tvoje riesenie sa na to neda pouzit)

Cize, je velmi dolezite vzdy upresnit na akom intervale je treba vysetrovat dane funkcie.

Ak mas, ine otazky, nevahaj ....

Veronika-veve · 28. 09. 2012 16:53

↑ vanok:
Tak teraz som teda zmatena. Priklad znel: je $f_{n}(x)= \frac{2nx}{1+n^2x^2}$ na intervale
a) $x\in [0;1]$
b) $x\in (1;\infty )$

rovnomerne konvergentna?

odpoved ucebnice:
a) nie
b) ano

a ja som si to myslela presne naopak. Ak mam ohraniceny interval, na ktorom to mam zistovat, teda tu ten $x\in [0;1]$ ja si tam nemozem dosadit na x tie krajne hodnoty a podla toho to zistit? Lebo tak som to urobila...a vtedy mi vyslo sup=0...Preco nemozem v oboch povedat, ze to nekonv.rovnmomerne, ked pouzijem tu derivaciu? Asi su to primitvne veci tie moje otazky, ale fakt neviem, ako mi tu konvergenciu v tomto priklade ovplyvnuje interval na ktorom to mam riesit...Ak mate este so mnou trpezlivost, prosim vas, vysvetlite mi, ako to funguje? Vdaka!

Rumburak

↑ Veronika-veve:

Snad budou nejasnosti rozptýleny, když úlohu komplet vyřešíme.

Především si uvědomme, co by mělo být limitní funkcí při bodové konvergenci (protože stejnoměrná konvergence je zároveň
bodovou konvergencí). Z úpravy

$f_{n}(x)= \frac{2nx}{1+n^2x^2}= \frac{\frac {2x}{n}}{\frac{1}{n^2}+x^2}$

(rozšíření zlomku výrazem $\frac{1}{n^2}$ ) je patrné, že limitní funkcí bude $f \equiv 0$ , bodová konvergence nastává v každém $x \in \mathbb{R}$ .

Nyní vyšetříme (aspoň částečně) průběh funkce $f_n$ na intervalech $[0, 1], [1, +\infty)$ . (Při obecné limitní funkci $f$ bychom
vyšetřovali průběh funkce $f_n - f$ . ) Pro libovolné $n \in \mathbb{N}$ je

$f_n(0) = 0 , f_n(1) = \frac{2n}{1+n^2} , L_n :=\lim_{x \to +\infty}f_n(x) = 0$

a dále

$f_n^{\prime}(x)= \frac{2n(1+n^2x^2)-2nx\cdot 2n^2x}{(1+n^2x^2)^2} = \frac{2n - 2n^3x^2}{(1+n^2x^2)^2} =\frac{2n(1-n^2x^2)}{(1+n^2x^2)^2}$ ,

odtud a z rovnice $f_n^{\prime}(x)=0$ zjistíme, že jediným nezáporným stacionárnám bodem funkce $f_n$ je $x_n = \frac {1}{n} \in [0, 1]$ ,
při čemž $f_n(x_n) = 1$ , jak snadno zjistíme z předpisu funkce $f_n$ .

Z těchto mezivýsledků a z nezápornosti (na intervalu $[0, +\infty)$ ), spojitosti a hladkosti každé z funkcí $f_n$ plyne:

I. $\sup_{x\in[0, 1]}|f_n(x) - f(x)| = \sup_{x\in[0, 1]} f_n(x) = \max \{ f_n(0) , f_n(1) , f_n(x_n) \} \ge f_n(x_n) = 1$ ,

takže konvergence $f_n \to 0$ není stejnoměrná na intervalu $[0, 1]$ ,

II. $\sup_{x\in[1, +\infty)}|f_n(x) - f(x)| = \sup_{x\in[1, +\infty)} f_n(x) = \max \{ f_n(1) , L_n \} = f_n(1) = \frac{2n}{1+n^2} \to 0$
pro $n \to +\infty$ , takže konvergence $f_n \to 0$ na intervalu $[1, +\infty)$ stejnoměrná je.

Rumburak

↑ vanok:

Ahoj kolego :-), já Tě také srdečně zdravím a těším se na Tvé další zajímavé příspěvky.
Pokud jde o nějaká kriteria na vyšetřování stejnoměrné konvergence, tak bohužel musím
konstatovat, že žádná k disposici nemám (osobně jsem zatím vždy vystačil s definicí,
aspoň pokud se pamatuji) .

Nyní si vzpomínám na různá kriteria pro st. konv. funkčních řad, což bych ale do tohoto
vlákna, kde se o řady nejedná, nedával .

Veronika-veve · 03. 10. 2012 20:32

↑ Rumburak:
diky!!!!:)

vanok · 03. 10. 2012 21:22

pozdravujem ↑ Rumburak:,

Co sa tyka kriterii, je ich viacej aj pre postupnosti funkcii, ako v tomto vlakne.
(vyjadrene v schematickej forme):
Ak $(f_n)$ je postupnost spojitich funkcii rovnomerne konvergentnych ku funkcii $f$ , potom $f$ je spojita.
Uzitocne moze byt aj Cauchy-ho kriterium rovnomernej konvergencie.

Ak treba, napisem sem aj dokazy.

Inac aj pre rady je viacetro kriterii, ale to sa netyka tohto vlakna.

Matematické Fórum

#1 23. 09. 2012 18:07

rovnomerna konvergencia

#2 23. 09. 2012 20:06

Re: rovnomerna konvergencia

#3 23. 09. 2012 21:01

Re: rovnomerna konvergencia

#4 23. 09. 2012 23:25 — Editoval vanok (24. 09. 2012 13:02)

Re: rovnomerna konvergencia

#5 24. 09. 2012 12:01

Re: rovnomerna konvergencia

#6 24. 09. 2012 20:10

Re: rovnomerna konvergencia

#7 25. 09. 2012 11:12

Re: rovnomerna konvergencia

#8 25. 09. 2012 12:36

Re: rovnomerna konvergencia

#9 26. 09. 2012 15:59

Re: rovnomerna konvergencia

#10 26. 09. 2012 16:32 — Editoval Rumburak (26. 09. 2012 16:33)

Re: rovnomerna konvergencia

#11 26. 09. 2012 17:58

Re: rovnomerna konvergencia

#12 28. 09. 2012 16:53

Re: rovnomerna konvergencia

#13 01. 10. 2012 10:58 — Editoval Rumburak (01. 10. 2012 13:59)

Re: rovnomerna konvergencia

#14 01. 10. 2012 11:01 — Editoval Rumburak (01. 10. 2012 13:46)

Re: rovnomerna konvergencia

#15 03. 10. 2012 20:32

Re: rovnomerna konvergencia

#16 03. 10. 2012 21:22

Re: rovnomerna konvergencia

Zápatí