Matematické Fórum

jarrro · 26. 09. 2012 12:50

ahojte v príkladoch na neanalytické ľubovoľne veľa krát derivovateľné funkcie sa uvádzajú také, ktoré majú nulový taylorov rad existuje taká funkcia čo má netriviálny(nenulový alebo ešte lepšie nekonštantný) taylorov rad pri tom sa mu nerovná na žiadnom okolí stredu radu a ten rad na nejakom okolí(s kladným polomerom) konverguje?

Pavel Brožek

↑ jarrro:

Pokud mám tu funkci, která má nulový Taylorův rozvoj, a přičtu k ní polynom, tak dostanu funkci, kterou hledáš. Nebo jsem tě špatně pochopil?

jarrro · 26. 09. 2012 13:25 — Editoval jarrro (26. 09. 2012 13:35)

↑ Pavel Brožek:aha asi máš pravdu taká funkcia bude mať
$n+1$ vú a vyššie derivácie nulovú a taylorov rad bude pripočítaný polynóm díky.
a taká funkcia čo by spĺňala $$\forall n_0\in \mathbb{N}$$\exists n\in\mathbb{N}$$n>n_0\wedge f^{\(n$}{$a$}\neq 0\)$ ?
asi by mohlo fungovať k funkcii s nulovým radom pripočítať analytickú je to tak? taylorov rad takej funkcie by bol v súčte tá analytická funkcia potom.
je to tak?
teraz ma zase napadlo či každá ľubovoľne veľakrát diferencovateľná funkcia sa dá napísať ako súčet funkcie s nulovým Taylorovým radom a analytickej funkcie aspoň na nejakom hoci aj malom, ale kladnom okolí stredu.

Pavel Brožek

↑ jarrro:

Přesně tak.

Ze zápisu

$f(x)=$f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$+\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$

je vidět, že každou hladkou funkci můžu napsat jako součet funkce, která má nulové všechny derivace až do řádu n, a funkce, která je analytická. V případě rozkladu

$f(x)=$f(x)-\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$+\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$

je problém, že by řada nemusela pro nenulová x konvergovat. Nic víc mě teď nenapadá.

Edit: Třeba pro funkci $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\mathrm{e}^{-n}\cos(n^2x)$ to fungovat nebude, protože její Taylorova řada nekonverguje nikde kromě x=0.

vanok · 26. 09. 2012 18:29

Ahoj,

Co si myslis o tejto funkcii
$\mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^{-1/x^2}$ pre $x\ne 0$ a $0\mapsto 0$ ?
(uvazuj Taylorov rozvoj v 0)

jarrro · 26. 09. 2012 18:34 — Editoval jarrro (26. 09. 2012 18:36)

↑ vanok:ahoj.že má nulový Taylorov rad

vanok · 26. 09. 2012 19:11

↑ jarrro:
Ano, a tak jej Taylorov rad nie je dana funkcia!
Cize aj tuto funkciu mozes ako ti radi kolega ↑ Pavel Brožek: (ktoreho pozdravujem).

Pavel Brožek · 26. 09. 2012 19:22

↑ vanok:

Zdravím,

ale o tom se tu myslím nebavíme, nehledáme funkci, která se jen liší od svého Taylorova rozvoje. Předpokládám, že tuto funkci jarrro zná, sám ji nejspíš měl na mysli ve svém prvním příspěvku když psal o neanalytických funkcích s nulovým Taylorovým rozvojem.

Otázka, kterou tu teď řešíme, je podle mě následující:

Je možné funkci, která je v bodě x nekonečněkrát diferencovatelná, zapsat jako součet dvou funkcí, z nichž jedna bude mít v bodě x nulovou Taylorovu řadu a druhá bude na nějakém okolí bodu x analytická?

jarrro · 26. 09. 2012 19:32

↑ Pavel Brožek:áno momentálne je taká otázka.otázku existencie funkcie s nenulovým Taylorom, ale rôznym od danej funkcie sme už myslím rozriešili↑ tu:, ↑ tu: a ↑ tu:

Matematické Fórum

#1 26. 09. 2012 12:50

neanalytická funkcia s netriviálnym taylorovým radom

#2 26. 09. 2012 12:52 — Editoval Pavel Brožek (26. 09. 2012 12:53)

Re: neanalytická funkcia s netriviálnym taylorovým radom

#3 26. 09. 2012 13:25 — Editoval jarrro (26. 09. 2012 13:35)

Re: neanalytická funkcia s netriviálnym taylorovým radom

#4 26. 09. 2012 14:12 — Editoval Pavel Brožek (26. 09. 2012 14:44)

Re: neanalytická funkcia s netriviálnym taylorovým radom

#5 26. 09. 2012 18:29

Re: neanalytická funkcia s netriviálnym taylorovým radom

#6 26. 09. 2012 18:34 — Editoval jarrro (26. 09. 2012 18:36)

Re: neanalytická funkcia s netriviálnym taylorovým radom

#7 26. 09. 2012 19:11

Re: neanalytická funkcia s netriviálnym taylorovým radom

#8 26. 09. 2012 19:22

Re: neanalytická funkcia s netriviálnym taylorovým radom

#9 26. 09. 2012 19:32

Re: neanalytická funkcia s netriviálnym taylorovým radom

Zápatí