Matematické Fórum

Skrytý text:

Nyní využijeme indukčního předpokladu, tedy, že: . Dostaneme tak:

Nyní bychom chtěli, aby se na pravé straně nerovnosti někde objevil výraz , takže si ho tam prostě "přinásobíme" a zase ho zpět vydělíme:

To se ale dá snadno upravit takto:

Nyní, pokud by platilo, že tak máme vyhráno, protože potom konečně platí :



Vyšetřujme tedy jestli platí vztah:
.
Vezmu funkci která je jistě nezáporná pro x větší než -1. Pro její derivaci platí: Vezmu tedy další funkci Pro její derivaci platí: . Pro x větší než -1 je tedy derivace g kladná a funkce g tedy rostoucí. A protože je funkce g záporná pro všechny x větší než -1. Tím pádem je derivace f také záporná pro tato x a tedy f je klesající. Z toho vyplývá, že i posloupnost je klesající pro všechna n větší nebo rovna jedné. A protože pro n=1 platí : , tak platí i náš dokazovaný vztah.