Matematické Fórum

krauva · 27. 09. 2012 18:20

Ahoj všichni,
mohli byste mi pomoci dojít k výsledku v této úloze?

Mezi dvěma stromy, jejichž vzdálenost je 12m je zavěšená šňůra o délce 16m. Na jednom ze stromů (x) je přívázána o 3m výše než na druhém (y). Zavěsíme na ni kladku a ta sjede do nejnižšího místa v prověšení šňůry. V jaké vzdálenosti od stromu y je vzdálena kladka?

Dík za pomoc!

zdenek1 · 27. 09. 2012 19:34

↑ krauva:
Zvolíš si soustavu souřadnic jako na obrázku

Podle zadání je
$\sqrt{(x+6)^2+(y+1,5)^2}+\sqrt{(x-6)^2+(y-1,5)^2}=16$
$\sqrt{(x+6)^2+(y+1,5)^2}=16-\sqrt{(x-6)^2+(y-1,5)^2}$ a umocníš
$x^2+12x+36+y^2+3y+2,25=256-32\sqrt{(x-6)^2+(y-1,5)^2}+x^2-12x+36+y^2-3y+2,25$
$32\sqrt{(x-6)^2+(y-1,5)^2}=256-24x-6y$
$16\sqrt{(x-6)^2+(y-1,5)^2}=128-12x-3y$ a zase umocníš
$16^2[(x-6)^2+(y-1,5)^2]=(128-12x-3y)^2$
a budeš upravovat a upravovat až to dostaneš do tvaru
$112x^2-72xy+247y^2-6592=0$ (to jsem nepočítal ručně, na to jsou stroje)
to co vzniklo, je kvadratická rovnice vzhledem k $x$ (ona je i vzhledem k $y$ , ale to nás nezajímá)
Protože nejnižší poloha bude jen jedna (to je zřejmé z geometrie problému. My jsme vlastně našli množinu bodů, které mají od dvou pevných bodů konstantní součet vzdáleností, tj. bude to pootočená elipsa), musí mít rovnice jen jedno řešení, tj. její diskriminat bude nula.
$\frac{D}{4}=36^2y^2-112(247y^2-6592)=0$ ještě to můžeš zkrátit 16
$81y^2-7(247y^2-6592)=0$
$y=\pm2\sqrt7$ protože my chceme nejnižší polohu, zajímá nás $y=-2\sqrt7$
Dále, pokud je diskriminat nula, je řešení
$x=-\frac{b}{2a}$ , kde $a$ , $b$ jsou koeficienty u kv. a lin. členu
$x=-\frac{-72y}{112}=-\frac{72\cdot 2\sqrt{7}}{112}=-\frac{9\sqrt7}{7}$
to je $x$ -ová souřadnice nejnižšího bodu. Z obrázku vidíme, že abychom dostali vzdálenost od nižšího upevnění, musíme přičíst ještě 6.

krauva · 29. 09. 2012 11:35

↑ zdenek1:
a jak na to příjdu a proč to tak je?? nějak tomu nerozumím…

zdenek1 · 29. 09. 2012 12:36

↑ krauva:
Vzhledem k tomu, že se něco velmi podobného objevilo v aktuálním zadání fyzik. olympiády, tak se k tomuto příkladu nebudu dále vyjadřovat.

Matematické Fórum

#1 27. 09. 2012 18:20

zavěšení kladky

#2 27. 09. 2012 19:34

Re: zavěšení kladky

#3 29. 09. 2012 11:35

Re: zavěšení kladky

#4 29. 09. 2012 12:36

Re: zavěšení kladky

Zápatí