Matematické Fórum

sk8er666.cz · 29. 09. 2012 22:57

Dobrý den, studuji stejnoměrnou konvergenci a nemohu pochopit jednu věc. U posloupnosti funkcí fk(x) = x^k se tvrdí, že konverguje k limitní funkci f(x)=0 na intervalu (-1,1), ale ne stejnoměrně. Pak je dále psáno, že stejnoměrnou konvergenci dostaneme odříznutím těchto krajních bodů. Vezmeme libovolné kladné číslo a < 1 velmi blízko jedničky a uvažujme množinu M = <-a,a> a na té už má posloupnost konvergovat stejnoměrně. Nechápu jakto, vždyť v tomto intervalu se mohu přibližovat k 1 stejně blízko, jako na intervalu (-1,1), pokud budu volit a opravdu velmi blízko 1. Díky za vysvětlení :)

Geronimo · 29. 09. 2012 23:24

Podle me by funkce $f_k(x)=x^k$ mela na intervalu $(-1,1)$ stejnomerne konvergovat. Z jakych materialu se to ucis?

sk8er666.cz · 29. 09. 2012 23:36

koukal jsem na http://math.feld.cvut.cz/mt/txte/3/txc3ea3a.htm - zhruba ve 3/4 textu.

Geronimo · 29. 09. 2012 23:57

Diky za odkaz, porad mam ale pocit, ze si autor textu plete $\langle -1,1 \rangle$ a $(-1,1)$ .

Vzdyt tou svou konstrukci, kdy vybere a nepatrne mensi jak 1, vlastne buduje interval $(-1,1)$ .

Pockej jeste radeji na reakci nekoho dalsiho, ale ja si myslim, ze v tom textu je chyba.

Pavel Brožek

Definice:

$f_n$ konverguje stejnoměrně k $f$ na intervalu $I$ , pokud $\forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}: \forall x\in I, \forall n \in \mathbb{N}, n > n_0: |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$

Na intervalu $(-1,1)$ funkce $f_n(x)=x^n$ nekonverguje stejnoměrně k nulové funkci. Dokážu negaci definice stejnoměrné konvergence: existuje (např.) $\varepsilon=\frac12$ takové, že pro všechny $n_0\in\mathbb{N}$ existuje (např.) $x=$\frac12$^{\frac1{n_0+1}}$ (skutečně takové x je z intervalu $(-1,1)$ ) a existuje (např.) $n=n_0+1$ takové, že $|f_n(x)-0|=\left|f_{n_0+1}$\(\frac12$^{\frac1{n_0+1}}\)-0\right|=\left|$\(\frac12$^{\frac1{n_0+1}}\)^{n_0+1}-0\right|=\frac12\not<\frac12$ .

Na intervalu $(-a,a)$ funkce $f_n(x)=x^n$ konverguje stejnoměrně k nulové funkci. Dokážu to zase z definice. Pro každé $\varepsilon>0$ existuje (např.) $n_0=\frac{\ln \varepsilon}{\ln a}$ takové, že pro každé $x\in(-a,a)$ a $n>n_0$ platí $|f_n(x) - 0| < \varepsilon$ , protože

$|f_n(x) - 0|=|x|^n\le|x|^{n_0}< a^{n_0}=a^{\frac{\ln \varepsilon}{\ln a}}=\mathrm{e}^{\frac{\ln \varepsilon}{\ln a}\ln a}=\mathrm{e}^{\ln\varepsilon}=\varepsilon$ .

Edit: samozřejmě tam mám chybu v tom, že takto zvolené $n_0$ nemusí být přirozené číslo. Je ale snad jasné, že upravit tento důkaz tak, aby byl úplně korektní, není žádný problém (stačí vzít první přirozené číslo větší než $\frac{\ln \varepsilon}{\ln a}$ ), proto to už nechám tak, jak to tu je.

Pavel Brožek

↑ sk8er666.cz:

Abych tedy reagoval na první příspěvek

Vezmeme libovolné kladné číslo a < 1 velmi blízko jedničky a uvažujme množinu M = <-a,a> a na té už má posloupnost konvergovat stejnoměrně. Nechápu jakto, vždyť v tomto intervalu se mohu přibližovat k 1 stejně blízko, jako na intervalu (-1,1), pokud budu volit a opravdu velmi blízko 1.

Na intervalu <-a,a> se nemůžeš přibližovat libovolně blízko k jedničce, protože a je nějaké předem dané a pevné číslo. Pokud např. a=0,8, tak |x| bude maximálně těch 0,8, nikdy ne víc. Proto se dá udělat odhad |x|^k<|a|^k, kde |a|^k jde s k jdoucím do nekonečna do nuly.

sk8er666.cz · 30. 09. 2012 08:52

já jen, že kdybych volil konečné číslo 0,9999.. a třeba milion devítek, tak mi to přišlo stejný jako v tom intervalu (-1,1), ale je vlastně jasné, že je to pořád jen konečné číslo a ta suprema půjdou k 0, kdežto u toho intervalu budou pořád 1. Tak jo díky moc za odpovědi. ;)

Pavel Brožek · 30. 09. 2012 09:04

↑ sk8er666.cz:

Myslíš, kdybys volil a=0,99999... (milion devítek a pak nuly)? Pak máš pravdu :-).

sk8er666.cz · 30. 09. 2012 09:10

Ano přesně tak. Už mi to dává celkem smysl, každopádně se ještě mrknu na ten důkázek, když už jsi ho sem napsal. A ještě jednou dík za pomoc :))

vanok · 30. 09. 2012 12:08

Poznamka, zda sa mi, ze je uzitocne vediet tuto vetu
Ak $(f_n)$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

je postupnost spojitych funkcii co konverguju rovnomermne na $X$ k funkcii $f$ , potom $f$ je spojita na $X$

Matematické Fórum

#1 29. 09. 2012 22:57

Stejnoměrná konvergence - hraniční body intervalu konvergence

#2 29. 09. 2012 23:24

Re: Stejnoměrná konvergence - hraniční body intervalu konvergence

#3 29. 09. 2012 23:36

Re: Stejnoměrná konvergence - hraniční body intervalu konvergence

#4 29. 09. 2012 23:57

Re: Stejnoměrná konvergence - hraniční body intervalu konvergence

#5 30. 09. 2012 00:01 — Editoval Pavel Brožek (30. 09. 2012 00:10)

Re: Stejnoměrná konvergence - hraniční body intervalu konvergence

#6 30. 09. 2012 00:18 — Editoval Pavel Brožek (30. 09. 2012 00:19)

Re: Stejnoměrná konvergence - hraniční body intervalu konvergence

#7 30. 09. 2012 08:52

Re: Stejnoměrná konvergence - hraniční body intervalu konvergence

#8 30. 09. 2012 09:04

Re: Stejnoměrná konvergence - hraniční body intervalu konvergence

#9 30. 09. 2012 09:10

Re: Stejnoměrná konvergence - hraniční body intervalu konvergence

#10 30. 09. 2012 12:08

Re: Stejnoměrná konvergence - hraniční body intervalu konvergence

Zápatí