Matematické Fórum

Blackflower · 02. 10. 2012 17:27

Zdravím,
na prednáške z pravdepodobnosti a štatistiky sme mali takúto definíciu:
Neprázdny systém podmnožín S množiny $\Omega$ je $\sigma$ algebra, ak:
1.) $A_1, A_2,...\in S$ $\Rightarrow \cup A_i\in S$
2.) $A\in S \Rightarrow A^c\in S$

Moja otázka znie : čo je vlastne v praxi tá $\sigma$ algebra, čo si mám pod tým predstaviť? Resp. čo sa odo mňa chce, keď mám nájsť systém podmnožín množiny S, aby to bola $\sigma$ algebra?

Vopred ďakujem za každú pomoc.

jarrro · 02. 10. 2012 17:47

veď si to napísala je to taký neprázdny systém množín ktorý je uzavretý vzhľadom na spočítateľné zjednotenia a doplnky. čo sa týka hľadania takého systému tak triviálne sú $\{\emptyset,\Omega\}$ a $2^{\Omega}$ a potom každý systém podmnožín danej množiny generuje sigma algebru

Blackflower · 02. 10. 2012 17:54

Čiže keď mám overiť, či je nejaký systém $\sigma$ algebra, stačí zistiť, či sa dá pôvodná množina napísať ako zjednotenie spočítateľného počtu množín? A ako je to s tým doplnkom?

radekm · 02. 10. 2012 17:55

Množina $\Omega$ je prostor elementárních jevů a $S$ je množina s jevy.

Například při házení kostkou je $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ . Množina S pak obsahuje možné jevy - například může obsahovat jev padlo sudé číslo $\{2,4,6\}$ .

Pravděpodobnost se přiřazuje jevům. Smyslem definice množiny S je, aby ten systém jevů byl "rozumný".

radekm · 02. 10. 2012 18:00

Blackflower napsal(a):
Čiže keď mám overiť, či je nejaký systém $\sigma$ algebra, stačí zistiť, či sa dá pôvodná množina napísať ako zjednotenie spočítateľného počtu množín? A ako je to s tým doplnkom?

Je potřeba ověřit uzavřenost na doplňky a spočetná sjednocení.

Př.: pokud S obsahuje jev padlo sudé číslo, tak musí obsahovat i jev padlo liché číslo (uzavřenost na doplňky) a musí obsahovat i jev padlo číslo (uzavřenost na sjednocení) a také jev nepadlo číslo (uzavřenost na doplňky).

Blackflower · 02. 10. 2012 18:01

Ešte si to musím nechať trochu uložiť v hlave. Vďaka obom! :)

jarrro · 02. 10. 2012 18:07 — Editoval jarrro (02. 10. 2012 18:10)

↑ Blackflower: každá množina sa dá zapísať ako zjednotenie spočítateľného systému množín. dôležité je či skúmaný systém spolu s tými množinami obsahuje aj ich zjednotenie a spolu s každou množinou aj jej doplnok napr. systém keď uvažujeme $\Omega=\{1, 2, 3\}$ , tak systém
$\{\{1\}, \{2\}\}$ nie je sigma algebra, lebo neobsahuje napr. množinu $\{1, 2\}=\{1\}\cup\{2\}$
naopak systém $\{\emptyset, \Omega, \{1\}, \{2, 3\}\}$ sigma-algebrou je