Matematické Fórum

terezkaaaaa5 · 03. 10. 2012 16:44

Dobrý den, pomůžete mi prosím s touto úlohou? Nevím si s ní rady. Předem díky

Rozměry kvádrů tvoří 3 po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Mám je určit, jestliže součet všceh 3 rozměrů je 24 a objem kvádru je $312j^{3}$ (jednotek krychlových).

Takjo · 03. 10. 2012 17:13

↑ terezkaaaaa5:
Dobrý den,
zkuste postupovat takto:
$(a_{1}-d)+a_{1}+(a_{1}+d)=24$
$(a_{1}-d)\cdot a_{1}\cdot (a_{1}+d)=312$
Tuto soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé dořešte... :)

terezkaaaaa5

↑ Takjo:

Díky, předně nevím, jak se vůbec došlo k těmto dvou rovnicím. Díky za vysvětlení.

Zavi · 03. 10. 2012 17:33

Řekněme, že ty tři členy jsou a0, a1 a a2. Protože je to aritmetická posloupnost, sousední členy se liší právě o d. Takže je můžeme zapsat jako a0= a1-d ; a1= a1 ; a2= a1+d
jejich součet = 24
a pak tyto členy dosadíš do vzorce pro objem kvádru (násobení), to se = 312
tím získáš soustavu dvou rovnic o dvou neznámých (a1 a d)

Takjo · 03. 10. 2012 17:37

↑ terezkaaaaa5:
Dobrý den,
jde o aritmetickou posloupnost, kde se jednotlivé sousedící členy liší o d (diferenci).
Např. $a_{2}=a_{1}+d$
$a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+2d$ atd.
Obecně: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$
V našem příkladu je vhodné pro usnadnění výpočtu volit:
$a_{n-1}$ člen $a_{n}$ člen a $a_{n+1}$ člen
takže: $a_{1}-d$ $a_{1}$ $a_{1}+d$

terezkaaaaa5 · 03. 10. 2012 17:45

↑ Zavi:↑ Takjo:

Díky oběma. Akorát teď nevím, jak s oběma rovnice (se soustavou) pracovat. Díky za rady.

Takjo · 03. 10. 2012 17:54

↑ terezkaaaaa5:
Dobrý den,
- první rovnice po odstranění závorek:
$(a_{1}-d)+a_{1}+(a_{1}+d)=24$
$3a_{1}=24$
$a_{1}=8$

- druhá rovnice po odstranění závorek:
$(a_{1}-d)\cdot a_{1}\cdot (a_{1}+d)=312$
$a_{1}^{3}-a_{1}^{2}d+a_{1}^{2}d-a_{1}d^{2}=312$
$a_{1}^{3}-a_{1}d^{2}=312$
a po dosazení za $a_{1}=8$
$512-8d^{2}=312$ atd. :)