Matematické Fórum

Skumin · 03. 10. 2012 16:20 — Editoval Skumin (03. 10. 2012 16:54)

Ahoj, potřeboval bych poradit s následujícím příkladem:
$\sin (x^2) < c$ , kde $c$ je parametr.
Došel jsem k tomuto:
$c > 1 ... x\in \mathbb{R}$
$c \le -1 ... x\in \emptyset$
$c \in (-1,1\rangle...x^2\in (-\pi-arcsin(c)+2k\pi , arcsin(c)+2k\pi )$ .
Teď ale nevím, jak se zbavit toho
$x^2$ . Díky.

houbar · 03. 10. 2012 19:06 — Editoval houbar (03. 10. 2012 19:07)

$\sin(x^2)<c$
$x^2 < \arcsin c$ teď nevím, jestli tam není nějaká bota se změnou znaménka nerovnosti
$|x| <\sqrt{\arcsin c}$

Zdravím.

Skumin · 03. 10. 2012 20:30

Díky za odpověď, ale nejsem si jistý, jestli je tohle řešení postačující. Na přednášce to profesor řešil tak, že jako by "udělal parametr" z $k$ (jestli se to tak dá říct) a dál postupoval zhruba takto:
$k <0...arcsin(c) + 2k\pi <0 \Rightarrow \emptyset$
$k =0,c\le 0...arcsin(c)+2k\pi \le 0\Rightarrow \emptyset$
$k =0,c> 0...arcsin(c)+2k\pi \ >0,-arcsin(c)-\pi <0\Rightarrow x\in (-\sqrt{arcsin(c),\sqrt{arcsin(c)}}$ ,
a pak dál pro $k>0$ ... Ale nikdy jsem s tímto nesetkal, moc nerozumím tomu postupu vyšetřování $k$ , tak jsem myslel, že by mi to někdo osvětlil :D

houbar · 03. 10. 2012 21:53

A opravdu $\arcsin (c) + 2k\pi$ ? Není to náhodou $\arcsin (c + 2k\pi )$ ?
Jinak nevím.

jelena · 04. 10. 2012 09:46

↑ houbar:

Zdravím,

to asi ne, perioda se doplňuje až k hodnotě úhlu, což je v zápisu tak: $\arcsin (c) + 2k\pi$ .

↑ Skumin:

V diskusi je moc nepřesností. Toto téma by zasluhovalo pořádnou pozornost - úloh na goniometrické nerovnice s parametry moc není. Je možné, že pomůže závěr diskuse z tohoto tématu. Nebo se tématu ujme někdo z kolegů. Děkuji.

Skumin · 04. 10. 2012 14:06

Právě no, myslím, že jsem to napsal správně původně. Tak nic no, asi je to nějaká blbost :D

jelena · 04. 10. 2012 19:14

Zkusím se nechat alespoň zkritizovat, děkuji

(chybí znak velkého sjednocení, ale to je detail).

$\sin (x^2) < c$ , kde $c$ je parametr.

$c > 1$ , potom $x\in \mathbb{R}$
$c \le-1$ , potom $x\in \emptyset$
$c \in (-1,1\rangle$ , potom $x^2\in ((\pi-\mathrm{arcsin}(c))+2k\pi;\,\mathrm{arcsin}(c)+2k\pi )$ .

rozeberu s ohledem na hodnoty $k$ ( $k \in \mathbb{Z}$ )

(1) pro $k\leq -1$ $((\pi-\mathrm{arcsin}(c))+2k\pi;\,\mathrm{arcsin}(c)+2k\pi )$ je pouze v záporných hodnotách, $x\in \emptyset$ .

(2) pro $k=0$ řešíme soustavu nerovnic $\pi-\mathrm{arcsin}(c)\le x^2\le \mathrm{arcsin}(c)$ , (pozor na podmínku, že $x^2\geq 0$ ),

(3) pro $k>0$ $((\pi-\mathrm{arcsin}(c))+2k\pi;\,\mathrm{arcsin}(c)+2k\pi )$ , celý interval je v kladných hodnotách, potom $x \in(\sqrt{\pi-\mathrm{arcsin}(c))+2k\pi};\,\sqrt{\mathrm{arcsin}(c)+2k\pi} )$

Skumin · 04. 10. 2012 21:19

No nějak takhle by to mělo vypadat :) Můžeš mi prosím ještě říct, proč a na základě čeho či jakým způsobem příklad rozebírám s ohledem na $k$ ? Nikdy jsem se s tímto způsobem řešení nesetkal, takže vůbec nemám tušení, proč se to řeší tímto způsobem. Díky :)

jelena · 04. 10. 2012 22:23

↑ Skumin:

No nějak takhle by to mělo vypadat

bylo by lepší, aby mi to někdo zkontroloval.

Ohledně rozboru $k$ - protože v zápisu 1. kroku k řešení se objevují násobky periody $2k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ . Pro záporná $k$ hodnota $x^2$ by se dostala do záporných hodnot, což pro 2. mocninu není možné. Samostatně se rozebírá $k=0$ (základní interval řešení - viz zdůvodnění zde).

Až kladné hodnoty lze bez obav odmocňovat.

--------------------
Jiný možný přístup je, že $f(x)=\sin (x^2)$ je složená funkce $f(x)=\sin (u)$ , kde $u=x^2$ atd.

Skumin · 04. 10. 2012 22:30

Tak jo, díky za poučení a přeji hezký den (popř. spíše dobrou noc) :)

jelena · 04. 10. 2012 22:34

↑ Skumin:

:-) cokoliv, než "dobré ráno".

Nápodobně.

Rumburak

Zdravím.

Pokusme se dosavadní problémové mezivýsledky shrnout.

Pro netriviální případ $0 \le c < 1$ a $y = x^2$ mi vycházejí dvě sady řešení určrné nerovnostmi

(I) $2k\pi \le y < 2k\pi + \arcsin c , k = 0, 1, 2 , ...$ ,

(II) $(2k+1) \pi - \arcsin c < y \le (2k+1)\pi , k = 0, 1, 2 , ...$

(pokud jsem někde neudělal chybu). Přejít odtud k nerovnicím pro $x$ by už nemělo být těžké.