Matematické Fórum

↑ kurama42:,
To je presne zadanie tohto cvicenia?
Inac taketo cvicenia sa riesta vdaka kongruenciamam a jednej Eulerovej vete.
Neviem ako by si v takomto pripade mohol pouzit Dirichlet-evo priehradkovu vetu.
Ak nahodou, taky dokaz najdes, napis nam to tu.
Dakujem.

Pomocí principu holubníku chceme dokázat existenci , že je dělitelné . Holubi budou mocniny a díry v holubníku budou zbytky mocnin po dělení .

Když dokážeme, že existují 2 mocniny , jejichž rozdíl je násobek - tj. - tak . Jelikož číslo není dělitelné , musí být dělitelné , takže a .

Zbývá ukázat, že existují 2 mocniny , jejichž rozdíl je násobek . Zde přijde na řadu přihrádkový princip:

Skrytý text:
Klíčové je uvědomit si, že když existují 2 různé mocniny se stejným zbytkem po dělení , tak rozdíl těchto dvou mocnin je dělitelný (tzn. je násobkem ). Existence 2 různých mocnin se stejným zbytkem plyne z holubníkového principu.

Vytkl jsem .

kurama42 napsal(a):

Viem, ze pri deleni je 100000 moznych zvyskov, cize medzi a su urcite 2 mocniny davajuce pri deleni 100000 rovnaky zvysok. Je To tak?

Ano, přesně tak. Stačí vzít 100001 různých mocnin 37, spočítat zbytky po dělení 100000 a z holubníkového principu víme, že nějaký zbytek se opakuje vícekrát.

↑ vanok:

Zaručit to nemohu. Myslím ale, že ze zadání neplyne, že nenulové cifry musí být těsně před "00001".

↑ vanok:

V zadani znelo, ze to cislo konci skupinou cifier 00001, pred ktorou je aspon 1 nenulova cifra.