Matematické Fórum

kolejo · 04. 10. 2012 15:32

Dobrého dne přeji, vážení matematici,
Mám tu příklad na Vietovy vztahy (odpověď na první nepoloženou otázku: ano, znám je).
Nikde jsem nenašel postup tohoto případu (odpověď na druhou nepoloženou otázku: ano, hledal jsem) ;)
[jak znám mat forum, asi mi přijde odkaz na vlákno, kde se toto řešilo, v takovém případě se omlouvám]

Označme kořeny rovnice $3x^2+8x+4=0$
$x_{1}$ a $x_{2}$
Aniž rovnici řešíte, určete $m=x_{1}-x_{2}$

Pokusil jsem se to roznásobit (x1+x2) ale dostat z toho rozdíl čtverců, to mi nepomohlo.
Možná bych ještě měl uvést, co v rámci příkladu už máme spočítané (tohle je část d) příkladu 4. z "seminář ze SŠ mat" (Herman, Kučera, Šimša) ):
součet čtverců kořenů, součet krychlí kořenů, součet převrácených kořenů hodnot

Děkuji velice za jakoukoliv pomoc,
kolejo

Rumburak

↑ kolejo:

Ahoj.

Ke zjištění rozdílu

(1) $m=r-s$ ,

kde $r, s$ jsou všechny kořeny rovnice $3x^2+8x+4=0$ , tuto rovnici přímo řešit opravdu nemusíme, ale zcela ji pominout také nemůžeme.

Vietovy vzorce říkají, že

(2) $r + s = -\frac{8}{3} , rs = \frac{4}{3}$ ,

což spolu s (1) dává soustavu tří rovnic o třech neznámých $m, r, s$ , z nichž nás zajímá pouze neznámá $m$ , zbývajících dvou se zbavíme jejich
postupnou eliminací, tak dostaneme novou kvadratickou rovnici pro neznámou $m$ .

vanok · 04. 10. 2012 17:19

Poznamka:
mozeme vyuzit toto:
$(r+s)^2-4rs=(r-s)^2$
a vieme, ze odmocnina $(r-s)^2$ , je $|r-s|$ , co je hladana vzdialenost.

Staci?

vanok · 04. 10. 2012 17:21

Ahoj,
Poznamka:
mozeme vyuzit toto:
$(r+s)^2-4rs=(r-s)^2$
a vieme, ze odmocnina $(r-s)^2$ , je $|r-s|$ , co je hladana vzdialenost.

Staci?

Edit: pouzil som oznacenia ako kolega ↑ Rumburak:, ktoreho pozdravujem.

kolejo · 04. 10. 2012 17:27

↑ vanok:

Ano, to je ono, děkuji.

↑ Rumburak:

Tak jsem to zkusil:
r-s=m
r+s=-(8/3)
r*s=(4/3)

2r=-(8/3)+m
m=r-s (s=4/3r)
m=r-4/3r

2r=-(8/3)+r-4/3r
...jinými slovy nic, asi jsem špatně uchopil Vaši radu.
Děkuji i Vám, chvíli jsem si s tím hrál...teď tedy jdu na ten druhý způsob řešení.

Rumburak

↑ kolejo:

Máme tedy soustavu

$m = r-s ,\\r + s = -\frac{8}{3} , \\ rs = \frac{4}{3}$ .

Z její první rovnice vyjádříme $r = m+s$ a toto dosadíme do zbývajících dvou, takže dostaneme

$m + 2s = -\frac{8}{3} , \\ (m+s)s = \frac{4}{3}$ .

Z první rovnice nové soustavy vyjádříme $s =-\frac{1}{2}$m + \frac{8}{3}$$ a to dosadíme do její druhé rovnice,
obdržíme tak cílovou rovnici

$$m-\frac{1}{2}\(m + \frac{8}{3}$\)$-\frac{1}{2}\(m + \frac{8}{3}$\) = \frac{4}{3}$

pro neznámou $m$ (s její další úpravou jistě nebude problém).

Řešení, které nabídl kolega ↑ vanok: , jehož rovněž zdravím, je samozřejmě mnohem elegantnější.

Matematické Fórum

#1 04. 10. 2012 15:32

Rozdíl kořenů KR, aniž rovnici řešíte

#2 04. 10. 2012 16:31 — Editoval Rumburak (04. 10. 2012 16:35)

Re: Rozdíl kořenů KR, aniž rovnici řešíte

#3 04. 10. 2012 17:19

Re: Rozdíl kořenů KR, aniž rovnici řešíte

#4 04. 10. 2012 17:21

Re: Rozdíl kořenů KR, aniž rovnici řešíte

#5 04. 10. 2012 17:27

Re: Rozdíl kořenů KR, aniž rovnici řešíte

#6 05. 10. 2012 09:52 — Editoval Rumburak (05. 10. 2012 10:42)

Re: Rozdíl kořenů KR, aniž rovnici řešíte

Zápatí